미분에 대한 명제.
게시글 주소: https://a.orbi.kr/0001033105
미분 가능한 함수 f(x)에 대하여 f(x)가 x=a에서 극값을 가질때
f'(a) = 0 이다.
이게 참인 명제인가요?
그러니까 극값을 갖고도 f'(a)값이 존재하지 않는다거나 그럴수는 없나요...
또 궁금한거.
f'(x) = tanx라고 한다면 x=파이/2에서 미분계수가 존재하지 않잖아요. 그럼 미분불가능하겠죠?
그럼 원함수인 f(x)에서 x=파이/2에서 극값을 가지나요?
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
궁금한것 3
보통 6모랑 9모 등급vs 수능 등급에서 가장 차이가 클 수 있는게 뭐임? 그니까...
-
활부 3
저녁잠은 신이야
-
이래도 ㄹㅈㄷㄱㅁ이라고 댓글이 달리나 실험하기
-
계속 화장실감? 비염 미치겠네 ㄹㅇ 심한건아닌데 감기기운인듯 비염에 도윰되는거 있나요
-
일단 유전 풀이법을 계속 잊어먹는 것은 병이 맞는거같다
-
생명 유전 3
요즘 실모 풀때 시간 부족해서 걍 남은 유전 직관 없이 최대한 정석대로 풀려고...
-
요즘 스타성있는 젊은 선수들도 많이들 유입되고 홍보도 잘되고 예전처럼 어느 몇팀들이...
-
아니 나만 책 이상태임? 책 양 옆이 무슨 똑딱이도 아니고 ㅈㄴ 거슬리는데......
-
한 시간동안 한 문제를 못풀었어요 따흐앙
-
4등급입니다 2,3점 기생집은 끝났고 4점 기생집 할껀데 일단 10개년만 할려고...
-
그렇다고 휴학 승인 취소하면 오히려 대학 입장에서 뒤 구린거 인증하는 거 아닌가?...
-
https://youtu.be/O1bhZgkC4Gw 가을에 어울린다 이런거보단...
-
진짜 미치겠네 2
예전에 평가원 비문학 어려웠을 때는 뭔가 맛있게 맵다 이런 느낌이였는데 작년...
-
생명 1목표이고 최소2는 맞아야하는데요ㅠ 지금 다인자 복대립 이런것도 제대로...
-
국어 끗 10
요즘 문학 폼이 심하게 떨어져서 문학만 9세트를 벅벅 글이튕기는군
-
못푸는 문제 있을수 있는거죠? 너무 심란하네요
-
10모 버전 고속성장
-
지금 할수있는 유일한건 이악물고 공부하는것 뿐인듯 제발 이번학기 잘해서 3학년때 내신 동결하자
-
나 개쳐늙었네... 10년이 아니라 7년이라네요 ㅈㅅ
-
확통 도와주시요 3
이렇게 분류해서 풀어듀 되는건가요...?ㅠㅠ
-
가 지문 읽고 가 지문 관련 문제 풀고 나 지문 읽고 또 문제 푸시나요 아님 두...
-
여러분들은 차별금지법이 실제로 시행되는것에 대해 어떻게 생각하세요??
-
3번이 b가 아닌 이유 좀요.. 해설에는 얹에 있는 ㅈ이 ㄷ으로 바뀐다는데 먼...
-
이럼 진짜 어느 나사빠진 머저리가 동국대감? 내 반영비가 또 이대식으로...
-
진짜임..
-
뭐임… 분명 1년전에도 저거하는 거 같던데 지금 아직까지도 안끝낸거 같음 참고로 개념서임..
-
10/36 0
https://www.orbi.kr/00069330403/ 2020년...
-
옆에서 여자애기가 1 1초라도 안보이면~ 이러고있네 왠지미안하네...
-
화학과외해주실분 2
사탐할걸 중화양적 먼 소린지 1도 모르겟어여 저는 빡대갈인가봐요 문제푸는 속도도...
-
28번찍고 30번 컨닝해서 맞추라고 맨날 강조하는데 실모치다보니 생각할수록...
-
점점 미쳐서 이성이 사라지는게 느껴짐 오르비에 욕망을 거침없이 싸는중...
-
Ex) 컴퓨터 이진법체계, 기계공학 이런거 ?
-
설맞이 0
분철 할말
-
뭐하는거지 수학해야하는데 하
-
생명 마무리로 이거 하려고 하는데 어떤가요?
-
수능 수학 난이도 10
지로함수 삼각함수 수열 함수의 극한과 연속 미분 적분 난이도 순서가 어떻게...
-
등급컷 어케봄… 시즌 6이 파2에요?
-
다소 빡치는일이 있었음
-
軍 장병 간식·특식 예산 '싹둑'‥"잘 먹어야 잘 싸운다"더니? 28
정부가 내년도 예산에서 군 장병 급식단가를 동결하고, 간식비는 줄이고, 국군의날과...
-
에바인가요? 지금까지 제가 친구한테 돈을 빌려준적은 있지만 학교에서 폰 걷은 후로...
-
설마 물2지2이시진 않겠죠
-
아 ㅋ 제한 없어졌구나 13
-
중간 2~ 높은 2 이고 커넥션 풀고있습니다 풀면 실력향상에 어느정도 도움이...
-
풀릴듯 안풀릴듯..
-
어뎁터가 가장 괜찮나요?
-
진짜로
-
짝녀는 물리하고 남자방엔 물2러 한명있는거 같고...
-
회피형인간너무짜증나요세상이밉고염세적인마인드셋이생기기직전이에요
-
괜히 기분 묘하게 더러움 피해준건 아닌데 그냥 자동으로 난 짐승새끼 되는 기분임...
-
커넥션 기간 1
하루에 수학만 한다 했을 때 커넥션 몇주컷 나나요?? 1주일컷 가능한가용??
극값을 갖고도 미분계수가 존재하지 않을 수 있습니다만,
미분 가능한 함수 f(x) 라면 x=a에서 극값을 가질 경우 항상 f'(a)=0 이어야 합니다.
그리고 아래 f'(x) = tanx 의 원시함수 f(x)=-ln|cosx|+C에서 x=π/2일 경우에는 정의되지 않음을 알 수 있습니다.
극값을 갖고도 미분계수가 존재하지 않는다는건 알았었는데 미분가능하고 극값을 갖는거라아 조건을 헷갈렸네요. 근데 극값을 가질경우에 그 x값에서 미분계수가 0이라는 걸 어떻게 증명하나요. ㅜㅜ
정확한 표현은 저도 자신이 없네요.
미분가능한 함수 f(x)에 대해서 x=a에서 극값을 가지려면, x=a 근방에서 f(x)의 함숫값의 증감이 바뀌어야 하니,
f'(a)=0 일 수 밖에 없지 않은가... 라고 궁색한 대답을 해봅니다;;
저도 미분 헛공부했네요 ㅋㅋ
지금 읽어보고 생각난건데 중간값정리에 의해서 증명할수도잇겠다는 생각이드네요.. 증감을 경계로 도함수의 부호가 반대로 바뀌니까 적절한 구간을 잡아서? 근데 구간이라는걸 또 어떻게 적절하게 잡지.. 아 정말 이거 제대로 공부해야되는데..
'적절한 구간' 이라는 부분은 [a-δ, a+δ] 로 나타내고, (δ는 충분히 작은 실수값)
대학교에서는 이를 δ-ε 논법이라고 부른다고 주워 들은게 있어요.
극한에 대한 표현은 대개 이런 방법을 사용한다고 하네요.
고등학교 과정에서는 무리가 아닐까, 조심스럽게 언급해 봅니다.
f(x)가 x=a에서 미분가능하고 극소이면 f'(a)=0임을 증명해 보겠습니다.
극소니까 x=a주위만 생각하면 그 부분에서 최소라고 할 수 있겠죠. 따라서
x가 a에 가까울 때
f(x)>f(a)라고 할 수 있습니다. 따라서
f(x)-f(a)>0
이고, x>a일 때는 { f(x)-f(a) } / (x-a) > 0, xa의 극한을 취하면 우미분계수는 0 이상, 좌미분계수는 0 이하라는 식을 얻는데,
위에서 f(x)가 x=a에서 미분가능하기 때문에, 좌미분계수=우미분계수=미분계수는 0일 수밖에 없죠.
극소를 "그 부분에서 최소"라고 생각하는 게 좀 더 논리적으로 탄탄하고, 대학교 공부에도 도움이 될 겁니다. 성지출판사 등의 교과서에서 이런 식으로 논리를 전개하고 있으니까, 참고해 보는 것도 괜찮겠죠.
f(x)가 x=a에서 미분가능하고 극대일 경우에도 위와 같은 방법으로 하면 f'(a)=0을 얻습니다.
이 성질은 롤의 정리로 이어지고, 다시 평균값의 정리로 이어지는 중요한 성질이니까, 잘 기억해 두세요.
오 깊이있는 답변 감사합니다. 충분히 작은 양수 h에대하여 f(a+h)-f(a)/h 의 부호로 결정하는 것도 괜찮겠네요.
좌미분계수가 0이하, 우미분계수가 0이상이고 미분가능하다는 것이 극한값이 반드시 존재해야되기때문에 결국에는 미분계수가 0이되는것라고 거군요.
네, h를 이용해서 증명해도 결국은 같은 내용이지요~