미분으로 부등식 증명 좀 부탁드립니다
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a>0 , b>0일 때, 부등식 aln(1+a) + e^b > 1 +ab + b를 증명하여라 입니다.
[aln(1+a)은 a 곱하기 (1+a)의 자연로그 입니다]
문제 풀이는 a,b 모두 변수로 생각하지 말고
한 문자만을 변수로 생각하여 해결 하는 것인데요
b를 변수 x로 보면 쉽게 풀리는데
a를 변수 x로 보면 f'(x)=0인 x가 구해지지가 않아
풀이에 진행되지 않습니다.
도와주세요
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굳이 a를 변수로 해서 풀어야 할 이유라도 있나요...? ln(1+a) + a/(1+a) - b = 0 은 일반적으로 a에 대하여 풀 수 없습니다. 정확히 말하자면, 우리가 아는 함수들로 a를 b에 대해 표현할 수가 없습니다. 굳이 가시밭길을 걸어가느니 차라리 잘 피해가는 게 더 좋을 것 같은데 말이지요...
뭐 굳이 풀어보자면
f(x) = xln(1+x) + e^b - 1 - bx - b
로 둡시다. 그러면
f'(x) = ln(1+x) + x/(1+x) - b
이고, 한번 더 미분하면
f''(x) = 1/(1+x) + 1/(1+x)^2 > 0
입니다. 따라서 f'(x)는 순증가함수이고, f'(0) = -b < 0 이므로, f'(a) = 0 을 만족시키는 a가 유일하게 존재하며, x = a 에서 f(x)가 최소값을 갖습니다. 그런데 ln(1+a) + a/(1+a) - b = f'(a) = 0 이므로, b를 a에 대해 표현할 수 있고, 이 경우
f(a)
= aln(1+a) + e^b - 1 - ba - b
= aln(1+a) + (1+a)e^(a/(1+a)) - 1 - (1+a)(ln(1+a) + a/(1+a))
= (1+a)(e^(a/(1+a)) - 1) - ln(1+a)
입니다. 이제 이 값이 0보다 큼을 보이기 위하여, 새로운 함수
g(x) = (1+x)(e^(x/(1+x)) - 1) - ln(1+x)
를 도입합시다. 그리고 귀찮은 계산을 통해 g'(x)를 직접 계산해보면, x > 0 일 때
g'(x) = (2+x)(e^(x/(1+x)) - 1)/(1+a) > 0
임을 알 수 있습니다. 따라서 g(x)는 순증가함수이고, g(0) = 0 이므로, x > 0 일 때 g(x) > 0 가 성립합니다. 특별히 a는 양수이므로, f(a) = g(a) > 0 이고, 이로부터 f(x) > 0 이 임의의 양수 x에 대해 성립함을 알 수 있습니다. 따라서 증명되었습니다.
sos님의 풀이는 진짜 감탄을 금치 못하겠네요 ㄷㄷㄷ
감사합니다.
말씀하신거와 같이 a를 x로 놓기 보다
b를 x로 놓고 푸는 것이 훨씬 간단하다고 생각합니다.
근데 정석에서(위 문제가 정석에서 나온 것임) a를 x로 놓고도 풀 수 있다 . 라고 하여 또 다른 풀이로 풀어보고 싶었고, 풀어봤는데 님이 말씀 하셨듯이 a를 b에 대해 표현할 수 없었습니다.
제 풀이가 잘못 되었거나 개념이 부족한건지 답변을 얻기 위해 질문을 올렸었습니다 ㅋ 감사합니다 ㅎ
굳이 a로 풀지 말라고 하시니 속이 시원하네요 ㅋㅋㅋ