평균값 정리가 만능은 아닙니다.

이글은 이륙이 기대가 됩니다.

거의 끊으시는 수준이...

매주 일요일 드라마 마지막장면 급 저도 린정합니다.

아무나 수학갓 등판 좀 ㅠ
문돌이 궁금해 쥬금

이렇게풀면될거같은데

1,2가 안 되는 이유가 더 궁금해서요 ㅠㅠ
이 방법이 좋은 것 같아요. 작년 드릴에서 배움!

사실 3번이 저거에요 ㅋㅋ
근데 강이쁨님 말씀대로 1, 2가 왜 부족한 해법인지 아는게 실력향상에 더 도움됩니다.

변곡점이여서??

흠

변곡점에서의 미분계수와같은 평균변화율이 없어서그런거 아니에요?

(나)만 해석하는데 변곡점이 나올 필요가 아직은 없어요

모르겠따..

브베짤 나올때가됬는데

셀카 올리고 기대가 댑니다 ㄱㄱ?

레전드 ㅋㅋㅋㅋㅋ

요로코롬

물론 x>0에서

옼 오늘 푼거닷
16.6.30 !.!

크으으으

좋아요

조건에 0

등호가 없어서 어느 부분이 설명이 안되는 것인가요?

x1이랑x2가 같아질수가없으면 변곡점에서의 기울기는 미포함아닌가여 ??

변곡점이 어떤 부분 때문에 왜 나와야하죠?.?

변곱점에서 기울기가최소인데 그점이뻥뚫려있게그래프그려거 풀었엉ㅅ

도함수의최솟값이요

그 이전의 상황, 즉 도함수가 최솟값을 갖고 그 최솟값이 몇인지 찾는 과정에 대해 논하고 있는 글이에요. 이계도 넘어가기 전!

1,2번 너무궁금함 ....힌트좀요

임의의 두 실수 x_1, x_2

띠용 제대로 안푼거였네

f'(x)>0이면 증가함수
이 명제에서 등호도 다뤄주시길 기대

문과 분들은

f(x)가 미분가능한 함수이고 방정식 f'(x)=0의 해가 유한개일 때,

~~

어떤부분을체크해야대는지 힌트좀 주세여 ~~

논술 답안으로 낼만큼 정확하게 알고싶어요
고교과정에서 어떻게 논의해야 할지는 모르겠지만

1), 2) 풀이를 보시고 '저것으로 최종결론인 f'(x)>=-1을 이끌어내기 부족한데?' 란 생각이 느껴지셔야 하고, 이를 보완하기 위해 어떤 논의 (가볍울 수 도 있는)가 더 필요한지!

난 아직도 무지하구나...아갈닫고 이유가올라오면 반성하겠습니다

괜찮아요 많은 강사들도 인지못하는 사실입니다.

x_1, x_2는 임의의 두 실수 이고 양변으로 나누어서 얻은 값은 임의의 두 좌표 간의 “평균” 변화율인데 그것을 f’(x)라는 “순간” 변화율과 동일하다고 치면 f’(x)

오!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 정확하진 않은데 핀트는 제일 비슷합니다.
궁금하신 분들은 이 댓글로 유추해봅시다.

문과는 여기까지가 한계인가 봅니다..

음 다시 읽어보니 핀트도 다른 것 같아요 ㅠㅠ

조건에이미 0보다크다대있어염

평균값정리에서 a,b 와 c가 같아질수는없죠 ??

일차함수면 같을 순 있겠지만 임의의 함수에선 같다고 할 순 없죠.

[a.b] 범위에서 f'(c)이면요

일차함수 이차함수로 각각 해보세요

H=f+x꼴로 잡고

증가함수로 해석해도 ㅎㅎ

증가함수 풀이가 정확한건 맞는데, 1)과 2)가 부족한 이유가 이 글의 메인 포인틉니다

아 글을 대강 읽었네요 ㅈㅅㅈㅅ
저 문제 고1인가 2때 저런식으로 풀고 넘겼던 기억이... ㅋㅋ

f'(c)의극한값만 -1이라서 그런가

저는단순히 x1과x2가같아질순없으니 변곡선에서의접선을그을수없다고판하고풀었습니다 ㅜㅜ

답은 15인가요? 풀긴 했는디...

궁금한것이있는데 1 2번식의조건해석이 부족 한것은 알겠지만 틀린거는 아닌거같은데요 반례가있을까요?
또한 공부는 이런식으로하는것이 맞지만 시험장에서는 저런식 직관적풀이도 매우중요하다생각하고
차지하는비율이 높다고생각되서요? 일반화시키긴그렇지만 시험장에서는
사고의 오류나 논리적비약을 거치지않는 범위내에서 직관적으로푸는게 더욱더 효과적이라고생각되서여
대체 누가 생전처음보는 문제를 항상 정석으로 끌고가서 풀이할까생각이들어서 댓글남겨봐요 도형에서
극한값을구할때 일일이 증명안하는것처럼요 제가 생각하는게 위험하거나 틀린생각인건가요?

제생각에는 공뿌할때는엄밀하게하는게맞는거같아요 !!

우리가 얼마나 엄밀하고 얼마나 직관적으로풀어야댈지 정확한기준을모르기때문에...

그건 저두동의한다구 썻어영 저도 그렇게공부했구 하지만
정해진90분 알고잇냐 모르고있냐가 중요한시험이아닌만큼
실전직관적감각을 무시할만큼 아예 필요없는건가 싶어서요 ㅋㅋ

실전에선 1), 2)처럼 풀었어도 추후에 공부할 땐 거기서 부족한 점이 뭐였고, 앞으로 1), 2)처럼 문제를 풀땐 더 엄밀하게 풀어야지! 식으로 공부 방향이 흘러가야 한다고 생각해서요 ㅎㅎ

시험장에서 뿐만 아니라 출제 된지 몇년이 지난 지금까지도 '캐치'를 못하고 있는 부분을 꼬집는 글이에요. 꽤나 크리티컬한 부분임에도 불구하구요

1 번 2번은 “틀린”해석인건가요 “부족”한해석인건가요?

모두 부족합니다.

이러면나중에 피보는건가 싶어서 질문드려봤습니디

님을 위해 힌트를 드리면
모든 실수 x에 대하여 f(x)=x임을 보여야 하는 문제가 있다고 칩시다.

그런데 f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, ..., f(n)=n (n은 임의의 자연수) 임을 보이고
아! 모든 실수 x에 대하여 f(x)=x 구나! 라고 주장하는 풀이와
1, 2번의 풀이가 비슷한 부족함을 지니고 있습니다.

제 질문은 시험장에서 어느풀이를 택하실건가요? 였습니당

전 참고로 2번(보완된), 3번으로 모두 풀고 시간이 남았습니다.
즉, 수능이 풀이를 전략적으로 선택해야할만큼 시간이 부족한 시험이 아니라는 뜻입니다!

아뇨아뇨 저희 학생입장이요 ㅜㅜ 실력이되면 당연히 ㅋㅋㅋㅋ
전 항상 21 30을 공부할땐 분석하며 정석으로공부했어도 시험장에서풀때는
항상 직관적 으로 보기를 봣을때 보이는 것으로 바로 풀이를 밀고나가거든요 지금까진 틀린적이없어서요 예를들어
이번 수능도 집수능이긴했지만 30번 보자마자 극점이용해서 홀수가되는 x값지정하고풀어서 바로풀었거든요
이런시험장에서의 습관? 이 나중에 발목잡을가 걱정되서 고쳐야하나싶어서 질문드린겁니다

저도 당연히 학생입장에서 말씀드린건데,,,,

30번에서 kmw님이 극소를 짚어낸건 사실 정확한 직관(천재들이 하는)이라기 보다는
우연한 직관 (다른 값들 보다는 그나마 확률이 높은 값들로 찍는 영리한 찍기)일 가능성이 높다고 생각합니다.

저 역시 그 문제에서 현장의 첫 풀이는 직관을 쓰긴 했는데,
'재배열부등식'이라는 교과외적개념을 연속버전으로 확정시켜서 쓴 것이기 때문에
학생이 저와 같은 직관으로 문제를 풀었다고 보긴 힘들구요.

아마 직관이 안통하는 문제들에 많이 데어보시면, 엄밀하게 공부하는 것에 대한 필요성을 느끼실 듯 합니다.

평균변화율의 극한으로 해석한다고 하면 x_1이라는 고정된 점의 우극한으로밖에 표현이 안되어서 우미분계수의 부등식이 되야하지 않나요..

미분가능한 함수이기때문에 그 부분은 커버가 됩니다.

약간 논점에서 벗어난 질문인데요... 아주작은 실수 에 대한 직관적인 이해가 아닌 논리적인 이해가 수능수학에서 꼭 선행되어야 할까요..?

아뇨 그럴 필요 없습니다. 입실론델타를 배우지 않았기 때문에, 그 부분은 직관적으로 받아들이시면 되요.

답 언제 올라오나욥

내일 점심 쯤 쓸게요. 낼 공부 다 하시고 보세요~

진짜 너무궁금하다

함수의 연속성과 관련이 있나요?

음 없는 것 같아요.

평균값 정리 마지막에 도함수의 연속이 필요해서인가요? 왜 부족한지 전혀 모르겠네요ㅋㅋ

도함수가 연속일 필요는 없어요 ㅋㅋ 존재만 하믄 댑니다

평균값정리는 특정한하나의사례라서그런건가요?

f'(c)가 함수가 아닌 값이요

그값을다모아보면 x=1을제외한부분에서만 fi(x)따라서그런건가요

어떤 부분을 핀트로 잡으신지 잘 모르겠어여 푸우

1번풀이가 틀린이유는 평균값정리를 사용했을 때 나타나는 f'(c)의 c가 모든 실수 x를 대표할수 없기 때문이라고 생각해요.
예를 들어 삼차함수 y=x^3에서 서로다른 x1,x2를 통해 나타나는 평균 변화율은 항상 양수입니다. 이것을 평균값정리를 사용하여 나타낸다면 '모든 실수 x에 대하여 f'(x)> 0이다' 가 됩니다.하지만, 실제 y=x^3은 x=0일 때 미분계수가 0입니다. f'(0)=0 따라서 위의 평균값 정리를 사용하여 나타낸 명제는 거짓이 됩니다.

네, 말씀해주신 것은 정확합니다.
(하지만 대부분의 학생들이 이것을 간과합니다.)

반면 간과하지 않은, 이미 추가적 논리가 필요한 것을 알고 있는 학생들은 사실을 보정하기 위해 x_2와 x_1 (혹은 구간 (a,b)의 양 끝 a, b)를 무수히 가깝게 보내는 행위를 합니다.
그러면 평균값 정리의 c가 구간 (a,b)가 무수히 압축되면서 c~=a인 느낌으로 모든 양수를 표현할 수 있을테니까요.

이정도 하면 어느 정도 커버가 되는 느낌이 나죠. (여기까지가 본문 글)

하지만 아직 부족합니다. 추가되어야 하는 논의가 무엇일까요.

제가역으로생각을해보았는데요
어떤f'(c)에해당하는평균변화율을가진 a와b를설정할수없다면 둘은같다고할수없지않을까요
여기서도 1에서의기울기랑평행한직선을 아무리그어보아도 f(x)의 양의부분과 두점에서 만나게 그을수가 없습니다

그건 평균값정리가 아니죠.
먼저 구간 (a, b)가 결정이 나면 그 구간 안에 이 식을 만족시키는 c가 있다!
이게 평균값정린데
말씀하신건 c를 정해놓고 이놈 포함하면서 f'(c)랑 같은 평균변화율 갖는 구간 존재하냐? 라고 하면 안되요.

추가로 논의해야하는 부분은 미분계수를 이용한 풀이가 부족한 부분과 동일한 관점이라고 생각됩니다. 미분계수의 정의를 통해서 이끌어낸, f'(x)가 -1 이상이다. 라고 하는 부등식으로 구해낸 함수가 실제로 조건 (나)에 부등식에 들어 맞는지에 대한 검증이 필요하다고 생각됩니다. 왜냐하면 미분계수 정의를 통해서 연역적으로 이끌어낸 부등식이 반드시 초기 조건의 부등식을 만족한다고 보장할수는 없기 때문입니다.

호오 서후니님이 제일 비슷하게 가시는 것 같습니다.
표현만 다르고 같은 것을 얘기하고 있는 것 일지도 모르겠군요.

저는 그 검증의 과정을 평균값정리로 하게 되면, 미분계수를 이용한 2번풀이가 완벽해진다고 생각하는데 갓기대님은 어떻게 생각하시는지..

으음.. 어떻게요?.?
저는 2)번 해설을 완전형으로 만들어 줄 수 있는 것은 도미노식 수학적귀납법이라 생각합니다.

이걸 정확히 아느냐 모르느냐가 수학점수에 큰 영향을 줄 수 있나요? (태클 x 단순 궁금)

1, 2번의 엉성함을 저격하는 문제가 나오면 -4점
안나오면 손해없음.

ㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋ

f'(x)=-1인게 존재하는걸증명해야대나여

사실 그것도 해주는게 맞는데,, 그건 뭐 스무스하게 넘어갔다고 합시다 ㅋㅋㅋ
이래서 3번풀이가 압도적으로 좋은거..

아 뭐지 너무궁금해서 잠이안옴..

1) 2) 모두 x_1, x_2가 가까운 상황만 전개해서 결론을 이끌어 냈는데

x_1, x_2는 임의로 잡을 수 있어야 하고, 그 때 저 식이 성립한다고 합니다.

그럼 댓글의 첫째줄과 둘째줄을 이어주는 논의는 무엇이 되어야 할까요

갑자기 튀어나와서 뜬금 없으셧겠지만 (나)조건의 부등식을 변형 하는 과정에서는 x1,x2가 임의의 실수인 조건에서 갑자기 x2를 x1로 보내서 근처에서만 정의되게 만든 것이 처음 x1,x2의 조건을 완벽히 만족시키지 못한다는 것이 완벽하지 못한 풀이인 이유라고 봐도 될까요??

뜬금없진않았구요 ㅋㅋㅋ

맞습니다.
x_1, x_2가 가까운 상황에서 f'(x)>=-1을 이끌어냈다 합시다.
근데 이런 결과가 (나)와 필충이라고 하기엔 무리가 있죠.
왜냐하면, x_1, x_2가 가깝지 않은 순서쌍일 때도 f'(x)>=-1이 성립한다는걸 보이지 않았기 때문입니다.
이 부분에 대한 논의가 더 필요합니다.

그런데 x1과x2가 멀때도 그사이에있는 적당한 c값에서의 미분계수와 같기때문에 결국 도함수가 -1보다 크다만 보여주면되는거 아닌가요??
머리가 빠가라 이해가잘되지 않아요 ㅜㅜ

그 c를 모든 x에 대하여 확장시킬 수 없음을 위에 삼차함수의 예로 설명해주셨습니다 어떤분이.

아 저 기출에 등호가 있는 경우만 생각해서 말씀드렸습니다. 등호가 없는 경우에는 이런 방식으로 검증이 안될듯 하네요 등호가 있는 경우에는, 교과서에 나와있는 f'(x)가 0보다 크면 f(x)는 증가한다를 증명하는것과 같은 방식으로 2번풀이의 결론에 평균값정리를 써서 초기부등식 조건을 검증할수 있지않을까요??

평균값정리를 어떻게 쓰신다는건지 잘 모르겠네용 ㅎㅎ

x2 를 리미트 x1 으로 보낸다구 해두 절대 x1 이 될 순 없으니까 그값의 순간 변화율이랑은 같을 수가 없어서 아닌가여??
그러니까 구간 양끝점 빼야하고 변곡점이 있다면 그 지점도 빼야 맞는 거 같은뎅

그건 아니궁..

a와b가 어떻든 결국 c는 (0.무한대) 안에 속해있을테니까 맞다고하면 논리적 오류가 있는건가요??

네.
그 c가 모든 x ( 구간 (0,inf)에 속하는 x) 를 모두 만들어낼 수 있다는 보장이 없어요.

아하 그걸증명해내야되는거군요

네, 님께서 하려는 주장을 뒷받침하는 도구죠.
근데 제가 말한건 그게 아닙니다.

가장 대표적인 반례로 f(x)=x^3으로 f'(c)=0을 만족시키는 두 실수 a,b를 찾을수없다 평균값정리의 역 함부로 쓰면 안됩니다 ㅎㅎ

f(x2)-f(x1)/x2-x1=f'(c)인 실수 c가 모든 양수를 대변할 수 없기때문에 모든 실수x에대해 f'(x)>_-1이라고 비약하는 풀이가 나오면 안되는것...

그렇습니다 ㅎㅎ 그걸 보정하는게 x_1과 x_2를 좁혀서 구간을 매우 작게 하여 c를 샌드위치 시키는건데, 이걸로 이 문제점을 해결한다고 해도 완성된 풀이가 아니죠.

f(x2)-f(x1)/x2-x1>_-1을 만족하는 상황이 set P이고 f'(x)>_-1인 상황이 set Q라면
문제에서 원하는것은 set P의 원소를 찾는것
그런데 잘못된 풀이에서는 첫줄의 식으로 두번째 줄의 수식을 유도합니다 set Q의 원소를 찾습니다. 근데 Q에 속하는 원소 중에 P에 속하지 않는것이 있을수있죠

음... f'(x)의 성질을 구하기 위해서 f'(c)의 성질을 이용하면 안되고, 그 역은 가능하다 라고 정리하면 될까요? 상당히 어렵네요

그니까옄ㅋㅋㅋ 말로 하는게 정말 어렵네요. 영상으로 찍으려구요,,

내일 해설 기대하겠습니다 저도 과외하면서 이런 디테일에 신경쓰고있어요 논술까지 준비하는 친구라서ㅎㅎ

저도 댓글 달면서 영상이 더 편할거 같아서 무료인강준비하고 있어요 ㅠㅠ 촬영예약을 못잡아서 언제 찍을진 미정이네여,,

임의의실수만 만족할뿐이지 구간 전부에 존재하는 x_3이 만족한다는 증명이안되어서 인가요?

결국 필요충분한 조건식이냐 아니냐의 문제네요

핵심은 그렇습니다.

https://m.youtube.com/watch?t=1291s&v=nBUKu67bUWU
어떤 센세가 자세히 설명했던거 같아서 올려요

와 이거다 ㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋ ㅋ

이것도 제 기준 부족합니다. 미분계수의 정의를 쓰기 위해 x_2를 x_1 우측으로 무수히 가깝게 보내는데, 그렇지 않은 순서쌍(가령 예를 들어 (x_1, x_2)=(1, 1000)일 때)에서도 항상 f'(x)>=-1만 성립하는지 설명이 불가능합니다.
순서쌍을 (1, 1000)같이 잡았을 경우, 저 조건이 아닌 다른 조건이 튀어나올 수 도 있고, 그러면 새로운 a, b, c들이 가능할 수 도 있습니다.

이는 매우 엄밀한 부분이기 떄문에 대학원 학생들과 조금 더 논의 후 정확한 정보를 수업으로 전달하려 합니다.

근데 기대님 f’>0 이면 왜 증가함수인지를 평균값정리로 증명하는 교과서도 그럼 틀린건가요?? ㅠ. 답좀

기대님 그러니까 평균값의 정리로 증명을 하면
c 자체가 x>0인 모든 실수 값을 대변할 수 없기 때문에 그런거 맞나요?? 평균값정리에서 c는 어떤 실수 값이고 실제로 아무리 작은 소구간을 잡아도 그 사이에 실수는 무한개이기 때문에 c자체가 모든 실수를 대표할 수 없다. 이건가요...?

증명 스샷 ㄱㄱ

위에 정병훈 샘이 한말 조금 양념쳐서 올린건데 아니라고하니... 쩝
ㄴㅋㅋ 전 그리구 수학 개못해서 뭐 증명 그딴거 못해요 ㅎㅎ 교과서 안에있는것만 가능~~

그 부분은 맞는 설명이에요! 그런데 아직 논의할게 더 남았다는 것일 뿐입니다

하긴 저도 저 기출풀면서 평균값 썼을때 뭔가 굉장히 찜찜했는데 역시나였군요. 수능 개념중에서 어려운 개념 top1 이 평균값정리인듯 ㅠㅠ

음.. 지금까지 평균값 정리를 잘못쓰고 있었네요 해설 올려주시면 꼭 보겠습니다

평균값정리는 잘 썼겠지만 아마 그 이후 사고과정에 비약이 있을 수 있어요 ㅎㅎ

후속글 언제 올라오죠?ㅠㅠ

그라고요, 이런 부분은 수험생으로서 어떻게 대처해야하나요? 대부분의 강사분들도 간과하고 지나갈만한, 작고 엄밀한 부분 같은데...
이런부분 개념은 어찌 대처해야한다고 보시죠?

1. 우선 글로는 표현하기에 말씀하신대로 엄밀하고 중요한 내용이라 강의로 대체합니다. 다음주에 찍을 예정이에요.

2. 방법은,, 교과서 개념을 정확히 이해하고 받아들이는 능력이 있거나, 이 능력이 부족하면 엄청난 시간을 투자해서 능력이 있는 사람과 동급으로 만들거나, 타인(강사)의 지식을 빌려 그 시간을 단축시키는 방법이 있겠죠..?

네, 당연한 얘기들 뿐입니다,,

어렵네요 ㅠㅠ
여하튼 글로 써서 풀어주셔도 될 듯 한데 감사하게도 무료강의 찍어주신다니 감사한 마음이 마구마구... ㅋㅋ
영상 올리시고 올리셨다고 한번 더 26글 쓰시면 더 많은 사람이 좋은 내용 접할 수 있을 것 같아요!!

ㅋㅋㅋ몇년전엔 미세먼지팁 올려도 1.5만 조회수는 그냥 찍었었는데.. 공부사이트에서 공부 글들이 묻히는게 좀 아쉽네요 ㅋㅋ

1번, 2번 풀이는 변수 2개
3번 풀이는 변수 1개

변수 2개로 풀려면 둘 중 하나를 고정시키고
모든 고정변수에 대해 일반화 시키고
일반화시켜서 얻은 새로운 규칙사이에서 고정변수를 변화시키며
평균변화율이 최소인 유일한 상황을 찾는다.

미분계수 풀이가 어디가 틀렸을지 전혀 감이 안잡혀요. 나름 모든 기출문제를 엄밀한 풀이로 해결하고 있는데, 2번이 틀렸다는 것에 대해서는 전혀 납득이 안되네요... 분명히 논리적 비약이 없는 논리전개를 통해서 얻은 정보인데 거기에 어떤 오류가 있다는 말씀이신지.... 예상되는 부분으로는 "f' =-1 인 지점이 항상 존재할 수 있는 건 아니다" 인데, 그렇다고 해도 저 논리전개가 틀리진 않은거고..

그 부분이 아닙니다. 아래아래 대댓글 확인해보세요.

0이상의 실수x에대해 f'(x)>_-1 가 뭐가 비약인가요?

>= 이 부등호는 크거'나' 같다 라서

f'(x)=-1가 존재하지 않더라도 식 자체의 서술상 비약은 없는 것 같아요

또한 시험장에서의 수험생의 입장에서는 차라리

f'(x)=-1의 존재를 가정하고 푸는 것이 오히려 나을 것 같다는 생각이 드네여,,

1. 원래 문제에서 평균변화율이 1이상이라고 주어진 것도

f'(x)=-1로 놓고 풀라는 일종의 힌트라고 생각되고,,

2. 최댓값을 구하는 것이니 만큼 양 끝값이 없으면 구할 수도 없고,,

전 '같다' 를 가지고 부족하다라고 말하는 것이 아닙니다. 아래 대댓글 확인해보세요~

물론, 말씀하신 '같다' 부분은 기존 문제와 달리 등호를 뺀 이 글의 문제에서 학생들이 낚일 수 있는 부분이긴 합니다만 메인토픽은 아니어요

이해가 안가는게 2번풀이는 부족한면이 있다면서 3번풀이는 완벽하다고 하시는데, 3번풀이에 사용되는 따름정리(증가함수이면 f'>=0)의 증명 과정이 2번 풀이와 완전히 동일합니다. 함수를 뭐로 볼거냐의 차이뿐인데, 2번은 불완전하다면서 3번은 완벽하시다는 근거는 무엇인가요?
또, 임의의 x1,x2에 대하여 f (x2)-f (x1)/x2-x1>-1 => f'(x1)>=-1 에서
p가 참이면 q가 항상 참인데, 이부분에 무슨 문제가 있다는 것인지도 모르겠네요

=-1만 성립하는지 설명이 불가능합니다.
순서쌍을 (1, 1000)같이 잡았을 경우, 저 조건이 아닌 다른 조건이 튀어나올 수 도 있고, 그러면 새로운 a, b, c들이 가능할 수 도 있습니다.> 라고 말씀하시는데, '임의의' x1 x2에 대하여 말하는 것이므로 항상 성립합니다.
(1,1000)뿐만 아니라, 어떤 순서쌍을 잡아도 항상 성립해야 하기 때문이죠.

3번풀이는 정의에 의한 해석이기 때문에 정확하고
1,2번은 x1,2가 가까운 상황만 가지고 결론에 도착했다는 점에서 부족합니다.
미분계수의 정의를 x1, x2가 각각 1,1000 일 때도 적용시킬 수 있나여?

3번의 경우는 x1,x2가 먼 경우, 가령 예를 들어 1,1000 의 경우에도 설명이 가능하죠.
수학적귀납법처럼 도미노로 부등호가 이어집니다.

말씀하신대로 우선 f'이 마1 이상임은 기본적으로 깔고 가야합니다.
하지만 다른 순서쌍 (1,1000) 같은 곳에서 f에 대한 추가조건이 튀어나온다면 그 조건까지 f가 추가조건을 만족시켜야합니다.

하지만 일부분, 즉 x1x2가 엄청 가까운 곳에서만 나온 결과만을 이용해서 문제푸는건 위에서 말한 추가조건의 존재를 캐치못하고 푸는 것이기 때뮨에 위험하단 얘깁니다.
(Cf.이 문제에선 위의 추가조건이 다행히 없기 때뮨에 정답이 나왔던 거구요.)

매우 먼 부분은 고민할 필요가 없습니다. 조건 (나)로부터 x>0인 범위에서 f'(x)≥-1이 성립함을 미분계수의 정의로 밝힌 후에, 다시 x>0인 범위에서 f'(x)≥-1이 성립한다는 전칭명제로부터 평균값 정리를 이용하여 조건 (나)가 성립함을 밝히면 끝입니다.

먼 부분, 가까운 부분이 중요한 게 아니라, 증명 가능한 명제가 무엇인지 확인하는 것이 중요합니다. 저렇게 필요충분조건을 밝히면 끝나는 건데, 엄밀할 게 뭐가 있을까요.

두 증명 중에 어느 한 쪽만 이해하고 풀면 위험한 거고, 둘 다 이해하고 풀면 괜찮은 겁니다.

아 물론 이렇게 말하는 저도, 증가, 감소 조건으로 푸는 것은 찬성합니다.

음 그런데 글의 풀이가 대부분 학생들의 풀이고(필요조건만 보이는 것)
여기서 필충을 보이기 위해 평균값정리를 써서 2번풀이를 마무리 짓는다면 더이상 부족한 풀이가 아닌 완벽한 풀이가 된다는 논리입니다.

근데, 역증명을 하지 않았으므로 완벽한 풀이가 아니라고 하면 되는 것 같은데, 가까운 부분과 먼 부분을 고민하는 이유를 잘 모르겠네요.

그 역과정을 보이는 것이 필요가 없다는 말씀이신가요?? 택스트로 두 분의 말을 보니 ㅠㅠ

역증명을 해야 한다고 했습니다.
그런데 처음 글에서 역증명을 안했으면 틀렸다.
그게 전부입니다.
최대최소 문제이므로 필요충분조건으로 풀어야 합니다.

필요충분인것을 보이는 것은 to35hour님이 잘 써 주셨으니 되었고, 제가 가장 먼저 주장한 점은
3)의 풀이에 사용되는 따름정리의 증명 과정이 그냥 2)의 풀이라는 것입니다. 애초에 두 풀이가 다르지 않아요

정확하게 말하면, 3의 풀이는 제가 말한 두 증명 모두가 함축된 풀이지요.^^
2)를 포함하는 것은 물론이고, 역증명까지 포함하는 풀이입니다.

약간 꼬집는 핀트가 다른 것 같습니다.
두 분들의 논리를 종합하여 푼 풀이는 이상없습니다.

저는 도구사용의 문제점을 꼬집지 않았습니다.
평균값정리와 미분계수를 모두 사용하여 필충임을 보였다면 그것으로 완벽한 풀이입니다.

하지만 증가의 정의 (이것의 증명은 교과서에서 했으니 우리가 시험장에서 할 필요 없습니다.) 를 써서 푼다면, 위의 복잡한 과정을 할 필요가 없기때문에 더 추천합니다.

저는

"1,2번은 x1,2가 가까운 상황만 가지고 결론에 도착했다는 점에서 부족합니다."

라는 말이 틀렸다는 말씀을 드리는 것입니다.
가깝고 먼 게 중요한 게 아니라, 애초에 역증명 자체를 시도하지 않았다는 게 문제라고 봐야 하는 거지요. 그냥 제 주장은 그냥 역증명을 하지 않았다면 부족하다는 것입니다.

정확히 얘기하면, 증가하는 미분가능 함수이면 f'>=0이다 는 교과서에 있는 정리가 아닙니다
결국 2)로 돌아갔어야 한다는 이야기죠
그리고 역증명은 2)나3)이나 똑같이 f'>0이면 증가한다 이지 않나요?
일단 3)의 풀이를 정확히 써주셔야 할 것 같은데...

쪽지 보냈습니다 선생님.

음 무슨 말씀하시는진 알겠습니다.
근데 제가 생각하는 3)의 풀이와 뭔가 다른것같은데...
제가 생각하는 3)의 풀이는 증가이면 f'>=0이다를 이용하는 풀이로 생각하는데(윗댓글들로 보아)
역증명이 필요한건 똑같지 않나요?(어차피 교과서에 있지만)
뭐 어디까지가 2)의 풀이냐 3)의 풀이냐 하는 것만 다르지
말하고 있는 내용은 똑같으니 문제될 거리는 아니라고 봅니다 ㅎㅎ

네 저도 쟈철에서 찬찬히 읽어봤는데 2,3번 풀이의 범주에 따라 서로의 주장의 참이 결정되는? 그런 상황인 것 같네요,,

제가 이해된 윗 댓글 요약

정병훈 선생님 comment)
"미분계수 정의 해설을 할 땐, 역증명을 해야 한다고 했습니다.
그런데 처음 글에서 역증명을 안했으면 틀렸다.
그게 전부입니다."

라고 하신 정병훈선샘님의 말씀에 저도 전적으로 동의합니다.

"1,2번은 x1,2가 가까운 상황만 가지고 결론에 도착했다는 점에서 부족합니다."
이라 말씀드린 것은, 가깝지 않은 상황, 즉 나머지 상황에서도 같은 결론(f'>=-1)이 나오는지 체크해야한단 말씀을 드린 것이고, 이러한 것은 역증명으로 해소할 수 있습니다.

지향점("역증명을 해야한다!")은 같습니다.

그건 그렇습니다. 지향점은 같지요.^^

사실 저는 이 문제 처음 봤을 때부터 증가함수 조건이 보여서 그대로 풀었지만, 평균변화율->미분계수로 넘어가는 풀이가 증가함수 조건 풀이와 논리적으로 큰 차이를 보이는 부분이 있는지 잘 모르겠습니다. 한참 부족한 것..

굳이 생각나는 점은 미분계수, 평균값 정리 는 특정값에 대한 것이기 때문에 모든 실수 x에 대해서라는 조건을 붙일 수 없다. x2->x1으로 극한을 보내더라도 x1에서의 접선의 기울기일 뿐이지 모든 실수 x에 대한 도함수가 아니다. 때문에 미분계수 정의를 도함수 정의로 확장시킬 수 있는지 그것을 생각해보라는 것인가요?

실수의 완비성과 관련이 있겠군요

Compact

모든 양의 실수에서 미분계수가 -1보다 크다고 장담할 수 없는 것 같아요. 왜냐하면 x1,x2를 무수히 많이 잡아도 평균값정리를 만족하는 x3이 모든 실수를 덮을 수 있다곤 장담못하기 때문인 것 같음.. 아 그리고 혹시 이런 개념을 compact라고 하나요?

맞습니다~

문제집 풀다가 해당 조건에서 왜 등호가 생기는거지?하고 구글 포탈로 넘어왔는데 아직도 이해가 안됩니다 (1),(2)가 왜 틀린 풀이인가요

실수의 완비성인가 뭐시긴가 하는것까지는 이해가 될듯한데,등호가 왜 나오는건지는 모르겠어요 ㅜ

완비성 얘기는 아니구.. ㅎㅎ 영상이 올라가있어요.
+요새 수능에선 크게 이슈가 될만한 부분이 아닌거 같습니다. 미적분이 워낙 날먹+계산위주로 나오고 있어서..