미분개념 자신있으신분들! 간단한 자작개념확인문제 투척하고갑니다.
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아시겠지만 ^는 윗첨자표시, _는 아랫첨자표시입니다.
다음중 옳은 것은 O로, 틀린 것은 X로 답하세요.
ㄱ. 함수 f(x)=x^2+1에 대해서,
ㄱ-1. f'(1)이 존재한다.
ㄱ-2. lim_(x->1) f(x) - f(1)
x-1 가 존재한다.
ㄱ-3. lim_(h->0) f(1+h) - f(1-h)
2h 가 존재한다.
ㄱ-4. lim_(h->0+0) f(1+h) - f(1) lim_(x->1+0) f'(x)
h =
ㄱ-5. lim_(h->0-0) f(1+h) - f(1) lim_(x->1-0) f'(x)
h =
ㄱ-6. lim_(h->0) f(1+h) - f(1) lim_(x->1) f'(x)
h =
ㄱ'. 함수 f(x)에 대해서,
ㄱ'-1. lim_(h->0+0) f(h) - f(0) lim_(x->0+0) f'(x)
h =
ㄱ'-2. lim_(h->0-0) f(h) - f(0) lim_(x->0-0) f'(x)
h =
ㄱ'-3. lim_(h->0) f(h) - f(0) lim_(x->0) f'(x)
h =
ㄴ.실수 전체의 집합을 정의역으로 갖는 함수 f(x)에 대해서,
ㄴ-1. 함수 f(x)가 미분가능한 함수이면 함수 f(x)는 연속함수이다.
ㄴ-2. 함수 f(x)가 연속함수가 아니면 함수 f(x)는 미분가능한 함수가 아니다.
ㄴ-3. 함수 f(x)가 연속함수이면 함수 f(x)는 미분가능한 함수이다.
ㄴ-4. 함수 f(x)가 미분가능한 함수이면 f(x)의 도함수 f'(x)는 연속함수이다.
ㄴ-5. 함수 f(x)가 x=a에 대해 미분가능하면 f'(a)가 존재한다(단, f'(x)는 함수 f(x)의 도함수).
ㄴ-6. 함수 f(x)의 도함수 f'(x)는 정의역 내의 임의의 원소 x=a에 대하여 lim_(x->a)f'(x) = f'(a)를 만족시킨다.
ㄴ-7. 함수 f(x)가 미분가능한 함수일때, 함수 f(x)의 도함수 f'(x)에 대해, 닫힌구간[a,b] 내의 '임의의' x에 대한 함숫값이 존재한다.
ㄴ-8. 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 f'(a)=0이다.
ㄴ-9. 미분가능한 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 f'(a)=0이다.
ㄷ. 다음과같이 함수 g(x)가 주어졌다고 할때(단, 생략된 부분은 x>a, x
ㄷ-1. lim_(x->a+0) g(x)가 존재한다.
ㄷ-2. lim_(x->a-0) g(x)가 존재한다.
ㄷ-3. g(a)가 존재한다.
ㄷ-4. lim_(x->a) g(x)가 존재한다.
ㄷ-5. 정의역내의 '임의의' x에 대해 g(x)의 함숫값이 존재한다.
ㄷ-6. g(x)는 어떤함수의 도함수가 될수 있다(O라고 생각하신분들만 ㄷ-7을 풀어주세요).
ㄷ-7. 만약, g(x)가 f(x)의 도함수라고 가정하면, 함수 f(x)는 x=a에서 극댓값을 갖는다.
ㄹ. f(x)= |x-1|에 대해서
lim_(h->0) f(1+h)-f(1-h)
2h 가 존재하고 그 값을 L이라 할 때,
ㄹ-1. L = 0
ㄹ-2. f'(1)가 존재한다.
ㄹ-3. 함수 f(x)는 x=1에서 미분가능하다.
(단, f'(x)는 함수 f(x)의 도함수)
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답을 어떻게 적어야할지...
ㄱ은 다 o
맞나요?
아 그리고 문제가 너무 길어서 하나하나씩 분할해서 올려야될것같네요.
저도 그냥 너무길어서 귀찮아서 넘기고 ㄱ만 품.
근데 ㄱ이 다 o라고 확신하는데 다 o가맞다면
당연히 다항함수인데 x가 나올수가있나요?
음..... ㄱㄴㄷㄹ이 다 유기적으로 연결된문제인터라....
분할해서 올리면 다소 의미가 떨어질것같아서요...
뭐...사실 유기적이라기보다 일부러 실수하기 쉽게 만들었거든요 -_-;;
일단 ㄱ은 모두 O 맞습니다.
도함수개념약간 흔들리시는분들은 ㄷ-7이랑 ㄴ-9랑 충돌하는걸보고 다소 당황스러우실것같은데..
교과서서술이 절대적으로 옳다고 가정하고 사고해 나가시면 길이 보이실겁니다.
ㄹ 수정완료
1번 전부다맞는거아닌가요? 내가뭘모르고있나 ㅠㅠ? ..
2번은 O O X X O X X X O
3번은 OOOXOOO
ㄱ.모두O
ㄴ.OOXXOXOXO
ㄷ.OOOXOX
다시한번생각해보세요!
ㄹ은 ㄱㄴㄷ 다 O맞나요
죄송합니다..ㄹ문제에 오류가있어서 수정했습니다...
다시풀어주셨으면 감사하겠습니다!
ㄱ은 모두다 틀릴수가 없지않나요?f(x)가 x^2+1인데. 제가 문제의도를 잘못읽었나요?
ㄴ은 1번부터 0 0 x x x x x x 0
ㄷ은 1번부터 0 0 0 x 0 0 0
ㄹ다시수정했습니다; 자꾸 헷갈리게 해드려서 죄송합니다.
답좀 달아주세요 ㅠㅠㅠ
죄송죄송요;;
문제에 오류가잠깐있어서
ㄱ.모두O
ㄴ.OOXXOXOXO
ㄷ.OOOXOX
다시한번 찬찬히 생각해보세요~
wns님 ㄷ에 뒤에서 두번쨰꺼가 안되는이유는 함숫값은 극한값과 달라도 되지만 극한값은 존재해야되기떄문인가요?
그렇지는 않습니다.
이걸 '정확히' 알려면 대학과정이 필요하긴하지만,
다행히도 지금과 같은 경우에는 이것이 참이 아니라는것은 위에서 말씀드렸다시피, 교과서 내의 어떤 서술(위 글에서도 언급한)을 통해 보일 수 있습니다.
ㄱ'문제 추가했습니다.
이것도 풀어보세요.
몇 가지만 언급하자면…
ㄴ-5. 함수 f(x)가 x=a에 대해 미분가능하면 f'(a)가 존재한다(단, f'(x)는 함수 f(x)의 도함수).
⇒ 교과서를 보시면, 미분계수로서의 f'(a)의 존재성은 순수하게 x = a 라는 지점에서 함수 f(x)의 미분가능성에 의해 따라나올 뿐, f'(x)가 실수 전체에서 도함수로서 정의되어야 함을 가정하지 않습니다. 그러므로 괄호 안의 내용과 실제 지문이 함축하는 바가 다르지요. 어떻게 보면 '혼란을 주는(perplexing)' 구성이라고 할 수 있겠네요.
ㄴ-7. 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 미분가능하다고 하면, 함수 f(x)의 도함수 f'(x)에 대해, [a,b]구간 내의 '임의의' x에 대한 함숫값이 존재한다.
⇒ 교과서에서는 폐구간에서의 미분가능성을 정의하지 않는 걸로 알고 있습니다. 때문에 이 경우 f'(x)값이 어디서 정의되는지를 묻는 것은, 이러한 맥락에 굉장히 민감하게 의존하는 물음입니다. 물론, 폐구간은 잘 생긴 정의역이기 때문에 우미분계수와 좌미분계수를 통해 폐구간에서의 미분가능성을 정의할 수 있습니다만, 어쨋든 민감한 이야기임에는 변함이 없지요. (사실 일반적인 경우에도 interior regularity와 boundary regularity를 구분하는 경우는 많지요.)
ㄴ-5에 대한것인데,
제가 괄호 안에 서술한 내용은,
f(x)의 도함수를 나타낼때, f'(x)를 사용하는 것은 지극히 일반적인 것이기는 하지만,
f'(a)에서 '을 f(a)에 묻어있는 왠 이상한 하나의 점으로 보아, f'(a)를 함수 f(x)의 x=a에서의 미분계수가 아닌, f(x)와 관계없는 완전히 새로운 함수의 미분계수로 보지 않을까 염려되어 추가한 사항일뿐, 큰 의미는 없었습니다.
또한, 말씀하신대로
실제지문에서 함축하고 있는 바는 x=a 이외에서 미분가능성은 별로 알 바가 아닌 상황인데도 불구하고,
괄호 안의 서술은 x=a이외에의 다른 미분가능한 점에서도 그에 대한 미분계수를 대응시키는 상황을 함축하고 있으니 혼란을 주는 구성이다.
라고 말씀하시는 것 같은데,
괄호안의 내용이 충분히 괄호밖의 내용을 품을 수 있으니 문제는 없다고 생각되네요.
그 둘이 모순을 일으키거나해서 이상한 상황을 만들어 낼까요?
그렇지는 않아보입니다.
또, ㄴ-7에 대한 것인데,
실제로 수학2 교과서에서는,
" 함수 y=f(x)가 어떤 구간에 속하는 모든 x의 값에서 미분가능 할 때, 함수 y=f(x)는 그 구간에서 미분가능하다고 한다. "
라는 것이 분명히 언급되어있습니다(미래엔(대한)수학2 교과서, p.115).
제가 말한 닫힌구간 [a,b]는 분명히 '구간'입니다. 그 구간내의 모든 x값에 대해서 미분가능한 상황인데도 '구간에서 미분가능함'을 정의하지 않을 이유가 있을까요.
교과서(수2교과서를 말씀하시는 것이겠지요)에서는 분명히, (폐)구간에서의 미분가능성을 정의합니다.
또한, 제가 ' 함수 f(x)의 도함수 f'(x) '라고 서술한 것의 전제는
'함수 f(x)의 도함수는 존재하며, 그것은 f'(x)다.'
라는 것인데,
그렇게 이미 도함수가 정의되어 있는 상황에서 그 일부 구간에서 미분가능성을 따지는 문제이므로 서술상에 문제는 없어보입니다.
음, 그저 어떤 구간에서 미분가능한 상황을 말하면 그것이 민감한데를 건드리지 않을줄 알았으나, 내용을 곱씹어보니 함수 f(x)가 [a,b]에서만 정의된다면, 그 구간에서 양끝점에서의 미분가능성을 알아내기가 곤란한 상황이 되는군요. 미분가능한점에서의 미분계수, 즉 순간변화율은 평균변화율의 '극한값'이므로 고교과정에서의 서술에서는 극한값이 존재하려면 좌극한 우극한이 같아야 하는데 양끝점에서 각각 한쪽방향의 극한값만이 존재하므로 고교과정내에서는 그 극한이 존재하는지 하지 않는지 판단하기가 곤란하다는 말씀이신것 같네요.
음, 수정을 하는게 좋을 것 같네요.
*수정 완료했습니다.
wnsrnek3 풀이해보면 준구다3 이군요 준구님 공부하세요
이것을 써놓으면 사람들은 답변한걸로알겟지?
지금 답변 달아 주실려나 모르겠는데 ㄷ - 6 도함수가 될수 있는 것으로 알고있습니다. f(x)의 조건을 특이하게 바꿈으로 충분히 가능하고요. 문제 풀다보면 함수 f(x)자체를 x가 2이상이면 t(x) 2이하면 m(x)이런식의 조건을 주면 충분히 가능합니다.그리고 f'(a)라고 표현하셨는데 이건 표현상 오류가 있다고 봅니다. 저같은경우 도함수의 함수의 값이라는 뜻으로 보고 당연히 존재하지 않을 수 있으므로 X를 했습니다.
아니요, 어떤 센스에서 이야기하신 건지 모르겠지만, 적어도 표준적인 미분가능성 하에서 주어진 함수는 어떤 함수의 도함수가 될 수 없습니다. 다르부 정리(Darboux' Theorem)이 이를 보장해주지요.
본래 정확히 말해서 f'(a)는, " 함수 f(x)의 도함수 f'(x)에 x=a를 대입한 값 " 또는 " x=a에 대한 도함수의 함숫값 "을 말하는 것이 아니라,
정의 자체가 " 함수 f(x)의 x=a에서의 미분계수 "를 나타내는 표현입니다.
표현상 오류가 있다고 보긴 어려울것같습니다.
미분 가능하다고 해도 그 도함수에서 그점의 값은 존재하지 않을 수가 있으니까요 X^2sin(1/x) 같은 꼴을 참조하시면 될 겁니다.
그리고 ㄴ 7번의 경우 아 바꾸셨네요 한쪽방향의 극한값만 존재하므로 판단 할 수 없다고 생각해서 x를 했는데 수정하셨군요
참고하시기 바랍니다.
그리고 x = a 의 근방에서 정의된 함수 f(x)에 대하여, 미분가능성의 정의로부터
함수 f(x)가 x = a에서 미분 가능하다 ⇔ f'(a)가 존재한다.
가 성립합니다. 예로 드신 함수
f(x) = x²sin(1/x) (x≠0) | 0 (x = 0)
은 분명 x = 0 에서 미분가능하며 f'(0) = 0 입니다. (만약 순수하게 f(x) = x²sin(1/x) 라는 함수를 고려한다면, 이 함수는 x = 0 에서 정의되지 않았으므로 처음부터 정의역에서 x = 0 이 제외됩니다. 그러므로 도함수의 정의로부터, f'(x) 역시 그 정의역에서 애초에 x = 0 이 빠지지요. 이것은 분명하게 x = a 라는 점에서 함수값이 주어진 ㄷ의 상황과는 다른 상황입니다.)
답좀 알수있을까요??