[문/이공통] 이 수학문제 푸러보세여 ㅠㅠ

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감동했음 전역시 수학을 못하나봄 ㅠㅠ

문제>>

a+b = 2*루트(cd) 를 만족하는 양의실수 abcd 가 있다.

acos(12x)+bsin(3x) = ctan^2(x) + d cot^2(x) 가 실근을 가질 때, abcd 의 조건과 그 실근을 구하시오.

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컵라면 [371145]

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lily1234 · 387846 · 11/11/22 13:14

뭐야이거 무서워

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루라룰 · 364154 · 11/11/22 13:15 · MS 2011

cot가 뭔지 가물가물한데... 문과 공통이라니..

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Yoonaul · 362874 · 11/11/22 13:15 · MS 2010

정답을 알고 있으나, 여백이 모자라 적지 않겠습니다.

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만만함 · 339218 · 11/11/22 13:18 · MS 2017

암산을 하였으나, 키보드로는 적지 못하겠습니다.

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대학사냥꾼 · 386142 · 11/11/22 13:19

쉽네요

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애리스21 · 297959 · 11/11/22 13:22 · MS 2009

관리자에 의해 삭제된 댓글입니다.

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폐인.. · 365173 · 11/11/22 22:54 · MS 2011

좌변은 사인 코사인이 1과 -1사이라 어차피 a+b보다 작거나 같고 우변은 산술 기하평균 부등식떄문에 2root(cd)보다 크거나 같은데 근이 존재한다면 등호를 만족하므로 준 식들은 a+b보다 작거나 같으면서 동시에 2root(cd)=a+b 이므로 a+b보다 크거나 같음, 즉 a+b임
그러면 좌변에서 조건을 만족하는 x로 (4k+1)pi/6 을 얻음 그런데 이중에는 우변의 tan^2(x)와 cot^2(x)를 발산시키는 kpi/2꼴의 근들이 있으므로 이를 제외하면 결국 2kpi+(pi/6 or 5pi/6) 꼴이 가능한 근들이 될 수 있음
이를 준 식에 대입하면 좌변은 물론 a+b임
우변만 이를 만족하면 되는데 등호 성립 조건때문에 ctan^2(x)=dcot^2(x) 이며 여기서 tan^4(x)=d/c 이고 x에 아까의 가능한 각도들을 대입하면 좌변은 1/9이 나옴
즉 1/9=d/c

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폐인.. · 365173 · 11/11/22 23:00 · MS 2011

결국 a+b=6d, c=9d가 만족되면 끝인듯요? 근은 2k*pi+(pi/6 or 5*pi/6) ,(k는 정수) 이구요..

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컵라면 · 371145 · 11/11/22 23:01 · MS 2017

정답

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C'est bon · 292152 · 11/11/23 00:30

이거 어디 문제인가요?? ㅋ

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컵라면 · 371145 · 11/11/23 00:43 · MS 2017

그냥 제 데이터베이스에 있는문제....;

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sos440 · 104180 · 11/11/22 23:00 · MS 2005

a cos(12x) + b sin(3x)
= c tan^2(x) + d cot^2(x)
≥ 2√cd
= a + b
≥ a cos(12x) + b sin(3x)

이므로

a cos(12x) + b sin(3x) = a + b ……… (1)

를 얻으며, 산술기하부등식의 등호조건으로부터

c tan^2(x) = d cot^2(x) ……… (2)

를 얻습니다. 그런데 (1)이 성립할 필요충분조건은 cos(12x) = 1 이고 sin(3x) = 1 인 것입니다.

우선 앞의 식으로부터 12x = 2nπ, 혹은 x = nπ/6 을 얻으며, 이를 두 번째 조건에 대입하면 sin(nπ/2) = 1 로부터 n = 4k + 1 꼴이고 x = (4k+1)π/6 을 얻습니다. 단, 여기서 k가 …, -1, 2, 5, 8, … 이면 x 가 π/2 의 정수배가 되어 tanx 혹은 cotx 가 정의되지 않는 지점에 속하게 되므로, 이 점은 제외해줍니다.

한편 (2)로부터 d/c = tan^4(x) = tan^4((4k+1)π/6) 인데, 가능한 모든 k에 대하여 이 값은 정확하게 한 가지 경우, 즉 tan^4(π/6) = 1/9 로 환원됩니다. 따라서 정리하면 다음과 같습니다:

[결론] 주어진 등식이 실근을 가질 필요충분조건은 c = 9d 인 것이며, 이때 해는 x = 2kπ + π/6 혹은 x = 2kπ + 5π/6 이 된다. 특별히, c = 9d 라는 조건으로부터 d = (a+b)/6 이고 c = 3(a+d)/2 이다.

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sos440 · 104180 · 11/11/22 23:00 · MS 2005

6분 늦었군요. Mathematica 로 검산한다고 파닥거리다가... ㅇ<-<

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폐인.. · 365173 · 11/11/22 23:01 · MS 2011

ㅋㅋ 거의 동시에 답이 달렸네요;

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컵라면 · 371145 · 11/11/22 23:02 · MS 2017

두분다쩌네여 ㅋㅋㅋㅋ ㅜㅜ

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sos440 · 104180 · 11/11/22 23:03 · MS 2005

뭔가 무섭네요 덜덜덜. Invisible hand의 힘인가...

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폐인.. · 365173 · 11/11/22 23:05 · MS 2011

근데 확실히 이런 유형은 12x를 보고 계산은 오버니 부등식 트릭일거다라는 판단이 안서면 암산이고 나발이고 멘탈붕괴인듯요+뭔가 우변이 산술기하틱해서
이거만 생각되면 순삭

보고서 1학기어치 밀렸는데 ㅜㅜㅜ 지금 난 뭔짓을 하는건가..

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ㅇㄷㄷㅅㄱ · 387965 · 11/11/23 01:39 · MS 2011

ㅇㅇ;; 대충 풀다가 ㅋㅋ 풀이 달렸길래 풀이보러 왔어요 무연근 조건까진 안따진듯 ;; sos440님 (1)까지 생각하고 아 끝났네 하고 왔는데 지금보니까 그 밑풀이가 더 가관이네요 ㅋㅋㅋ;;;

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