구분구적법이 왜 정확한지 아시는분
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제가 예전에 공부하다가 어떤 아이가 이거 물어봐서 고민하다가 나름의 결론에 도달은 했었는데 이게 왜 가장정확할까요? 단지 직관적으로 그렇다고 해서 그렇다 저도 그랬고 결론이 툴릴경우엔 앞으로도 그렇겠습니다만은..... 이거 증명이나 왜 그런지 정확하게 아시는분있나요
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이거 정확한거 아니지않나요?
디리클레함수 구분구적법 안되던데
정확하게 아는건 아닌데 (실제보다 작게 구분구적한것)(실제보다 작게 구분구적한것)(실제보다 크게 구분구적한것)->이 넘들 극한보내서 하나의 값으로 수렴한다면 그 수렴값이 실제값과 같을 것이다.. 이렇게 생각하는게 맞는거 같아여
만약 (실제보다 작게 구분구적한것)(실제보다 크게 구분구적한것)->이 넘들이 서로 다른 값으로 수렴하면 수렴값이 실제값이라고 말할수 없는거구....
자 이제 태클 ㄱㄱ
증명도 수식으로 해보시면 될듯 합니다.
불연속 점이 유한개인 함수에서만 구분구적법이 맞는것으로 알고있어요
구분구적법이 왜 정확한지 이해하려면 먼저 극한을 이해해야합니다 고교교과상에서는 극한을 엄밀하게 증명하기보다는 직관적으로 이해하는게 맞습니다. 윗분이 말씀하신 샌드위치정리 역시 극한을 엄밀하게 증명해야만 타당한것으로 이해할수 있는겁니다.
또한, 아르키메데스 역시 구분구적법을 발견할때 n을 점점 크게 할수록 실제값에 근사해간다 는것을 이용했고, 이 역시 직관적인 이해로부터 출발한것입니다.
따라서 그냥 직관적인 것으로 이해하는것이 맞는거같습니다
사실 엄밀히는 사고의 방향이 반대입니다. 구분구적법이 정확한 것이 아니라, 구분구적법의 아이디어로 일반적인 도형의 '넓이'라는 개념을 정의합니다.
넓이라는 개념은 질량과 같아서, 질량을 잴 때 국제도량형국에 보관된 백금-이리듐 질량원기를 기준으로 다른 모든 것들의 질량과 비교하는 것처럼,
길이나 넓이, 부피와 같은 개념 역시 가장 기본이 되는 도형들에 대하여 해당 개념을 정의한 후 점점 더 많은 도형들을 이 기본 도형들과 비교하여 그 넓이를 정의합니다.
그리고 이때 비교하기 위한 가장 기본적이자 근본적인 도구가 구분구적법이지요.
구체적으로, 많은 경우에는 간짬뽕 님의 말씀처럼 주어진 도형을 포함하는 더 큰 도형과 주어진 도형 안에 포함되는 더 작은 도형들을 생각한 후 둘의 넓이 (혹은 부피) 차이가 점점 0으로 가도록 설정을 합니다.
이때 그 둘의 넓이 (혹은 부피) 가 공통으로 다가가는 그 값을 원래 도형의 넓이 (혹은 부피) 라고 생각하는 것이 자연스럽지요.
참고로, 고등학교 때 배우는 정적분의 개념을 포함하면서 구분구적법의 아이디어를 최대로 살린 개념이 바로 리만적분인데, 리만적분이 정확하게 '더 작은 도형'과 '더 큰 도형' 사이에 구하고자 하는 것을 끼워넣어서 둘의 차이가 0으로 갈 때의 그 공통의 극한값으로 적분값을 정의합니다.
이때 어떤 함수가 리만적분이 가능할 필요충분조건도 찾을 수는 있지만, 조금 이론적으로 어렵기 때문에 (함수가 유계이고 불연속점이 영측도여야 한다는 정리가 있습니다) 굳이 설명하지는 않겠습니다. 다만 불연속점이 유한 개이거나 혹은 유리수개수만큼 있으면 항상 리만적분 가능합니다.
그리고 x축(정의역)을 쪼개는 대신에 y축(공역)을 쪼개서 구분구적법을 적용하면 정적분, 리만적분보다 훨씬 더 넓은 범위의 적분을 정의할 수 있는데, 이것이 바로 르벡적분이 됩니다.