<2010 쓰쿠바대학 (이과) 전기 일정 문제 6>
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직선 l 이 타원 C 를 접하면서 이동한다.
(1) 점 (m, n)의 궤적은 타원임을 보여라.
(2) C의 초점 F1 과 l 의 거리를 d1 으로, 또 하나의 초점 F2 와 l 사이의 거리를 d2 로 한다
이 때 d1d2=b^2 임을 보여라.
정답
(1) 타원이다. (증명생략)
(2) d1d2=( I b^2n^2+b^2m^2 I)/(m^2+n^2) = b^2 이다. (증명 생략)
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문제가 일어로 적혀있으니까 영어로 답하고 싶은 충동이 새록새록...
(1) Let P(x1, y1) be the tangent point on l to C.
We know that the equation of the tangent line to C at P is given by x1x/a² + y1y/b² = 1.
This line must coincide with l, thus by comparison we have m = x1/a² and n = y1/b².
Then (x1, y1) = (a²m, b²n), and plugging this back to the original equation for the ellipse C, we have a²m² + b²n² = 1, which is also an ellipse.
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(2) Let P(x1, y1) be as in (1) and c = √(a²-b²). Then by point-line distance formula, we have
d1 = |-mc-1|/√(m²+n²),
d2 = |mc-1|/√(m²+n²).
Thus their product is
d1d2 = |1 - m²c²|/(m² + n²).
Parametrizing P as (x1, y1) = (acost, bsint), we find that m² = cos²t/a², n = sin²t/b². Thus
1 - m²c²
= 1 - (cos²t/a²)(a² - b²)
= 1 - cos²t + b²cos²t/a²
= sin²t + b²cos²t/a²
= b²(sin²t/b² + cos²t/a²)
= b²(m² + n²),
yielding the desired result
d1d2 = |b²(m² + n²)|/(m² + n²) = b².