수학 칼럼(6)-2020학년도 수능 가형 30번에 관하여

볼록성이 다른 두 함수에서 한 함수를 고정시킨 채 다른 함수의 그래프를 평행이동하여 고정 시킨 함수의 그래프와 접하게 할 때 이동의 표현을 다른 변수를 도입하여 표현하는 문제에 대한 고찰(1)

두 함수 y=e^x 와 y=lnx 의 그래프는 만나지 않습니다.

y=lnx 를 고정시킨 채  y=e^x 을  x축의 양의 방향으로  k 만큼 평행이동해 가다 보면 두 함수의 그래프가 한 점에서 만날 때가 한 번 존재합니다.

즉,  y=e^x-k와  y=lnx가 접할 때 k 의 값은 유일합니다.

이때 상수  k를 새로운 변수  t에 대한 두 함수 f(t)  , g(t) 의 합으로 표현해 보겠습니다.

k=f(t)+g(t)

이렇게 만들어진 문제가 바로 2020학년도 수능 가형 30번 입니다.

강공님 풀이의 역순으로 정리해 보았습니다. (밤에 모든 게시글을 찾아보더라도 찾아서 댓글로 게시글 링크걸겠습니다. 닉이 강공님이 아닐수도 있습니다. 죄송)

저는 주요 기출 문항은 항상 변형합니다. 저렇게 만든 문제에 풀이를 적용시켜 보았습니다.

정말 주요문항은 난이도를 단계별로 제작하는데 1단계(가장쉬움) 문제에 적용되지 않고 2단계, 3단계 문제에는 적용되었습니다.

적용되는 문항 부터 문제 및 해설을 달아 보겠습니다.

첫번째 문제입니다.

지수함수와 이차함수의 관계로 설정해 보았습니다. 아주 잘 적용되었습니다. 원래 제가 하는 항등식을 이용하는 방법에서는 이 문제가 그리 쉽게 풀리지는 않았습니다. 그런데.. 풀이가

설명하는 글 제외하면 딱 한줄이면 풀리더군요..

다음은 수능 문제와 같은 설정인 지수함수와 로그함수입니다.

해설은 다음과 같습니다. 수능 문제와 이 문제는 원래 저의 풀이에서도 간단하게 풀리긴 합니다. 풀이는 마지막에 소개하겠습니다.

강공님의 풀이로는 이렇게 간단 명료하게...

이것이 평가원의 출제의도였는지는 모르겠으나 문제를 완전 해부해 버렸네요...

그런데 다음 문제에서는 적용이 되지 않는거 같습니다. 그 차이점은 함수에 있습니다. 이차함수와 일차함수의 관계인데 이차함수의 계수가 변수t^2이 곱해져서 기본함수에 변수 t가 포함되어 있습니다.

원래 기존의 방법

[접점의 y좌표가 같다.] 

[접선의 기울기가 같다.]

로 계산하면 쉽게 풀립니다.

언급했듯이 변형 문항중 가장 쉬운 난이도의 문제였습니다.

그런데 이 문제는 기본함수에 변수 t와 x가 함께 포함되어 평행이동 만으로는 식을 변형해 나갈 수 없는거 같습니다.

위 문제들은 지수함수가 있어어 지수함수 기본 꼴에 곱해진 다른 식이든 상수는 밑변환 공식으로 지수로 올려버릴 수 있어서 기분함수끼리의 평행이동으로 설정이 가능했습니다. 

감사합니다. 

랑데뷰 수학 황보백 선생

참 원래 30번에 대한 저의 풀이는...

관련 개념은 글 앞부분 문제 생성 원리와 비슷하여 생략하겠습니다.