ebs 파이널 수리가 14번 ㄷ번 행렬좀 알려주세요...

Question

영행렬이 아닌 행렬 A의 제곱은 0 .ㄷ ) A=B제곱  을 만족하는 행렬 B는 존재하지 않는다.해설에 B의 4제곱은 0 --> B의2제곱은 0 이라고 되어잇는데.....어떻게 이렇게 생각하는거죠????고수님들 도와주세요

하나두루 · Accepted Answer

B가 0인경우는 당연히 안되구 0이 아닌경우 B의 네제곱이 0이니깐 B는 역행렬이엄슴니당
따라서 케일리헤밀턴으로 B의제곱은 (a+d)B가 되구  B의 네제곱이 영이니깐 a+d 는 0이 되서 B의 제곱이 0이됩니당

Hack · Answer

89년생 ㅡㅡ;;; 저랑 동갑이시네요. 힘내시라는 의미에서 ㅠㅠ

B^n = O 에서 B가 역행렬이 존재하면 양변에 B역행렬을 곱해나가면 결국 B= O 가 되므로 B가 역행렬이 존재한다는 가정에서 모순됩니다.

따라서 B는 역행렬이 존재하지 않고, 따라서 B의 ad-bc 값이 0이 됩니다. 여기서 행렬 B에 대해 케일리 해밀턴 정리를 쓰면,  B^2 - (a+d) B + (ad - bc)E = O 에서 ad-bc=0이므로

B^2 = (a+d)B 가 나오고, 양변에 B를 곱하면 B^3= (a+d)B^2 = (a+d)^2 B  따라서 B^n = (a+d)^(n-1) B 

B^n = (a+d)^(n-1) B = O 에서, a+d= 0 이거나 B가 영행렬이라는 결론을 내릴 수 있는데, ① a+d가 0 일 때 B^2 =O ② B=O 

이라는 결론이 나옵니다. 어쨌거나 B^ n = O 이면 B^2 = O 은 성립합니다. 이는 필요충분조건입니다.

고로 A = B^2 에서 A^2 = B^4 = O 인데 이는 B^4 = O 은 곧 B^2 = O 이므로 A^2 = B^4 = B^2 = O 인데 A=B^2 이라 했으므로 A= O 이라는 결론이 나옵니다.

그런데, 영행렬이 아닌 A라고 했으므로 존재하지 않습니다.

레트라 · Answer

두분다 ㄳㄳ합니다!!....89생 화이팅 ㅠㅜ

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