자작 도형 무한등비급수 2개
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첨자를 잘 보셔야 헷갈리지 않습니다. 부등식 들어있는 쪽이 사실 더 쉬운 문젠데 말을 조금 꼬아 놔서 어려워 보입니다.(무슨 말인지만 이해하면 별거 아닙니다.)
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c_0 , c_1 반지름의 길이가 같다고 문제에 나와있지만 일반적으로 각각의 반지름을 r_0 , r_1 라고 하고 사이에 낀 외접하는 작은 원(위 그림 참조)의 반지름을 r_2라 하면, 루트(r_0 r_2) + 루트(r_1 r_2) = 루트(r_0 r_1) 이 성립하는 거 이용하면 됩니다.
1번은, r_0 = 1인 셈이니까, 1/루트r_n+1 = (1/루트r_n) +1. n변화시키며 쭉 더하면 1/루트r_n = n 얻고, r_n = 1/n^2 (n>=1일때)
답은 1+ 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... < 1 + 1 + 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... = 3 이니까 3 (2초과임은 자명.)
2번은 1번에서 1/루트r_n+1 = 1/루트r_n + 1/ 루트r_n-1 (n>=1) 이니까, (1/루트r_n 이 피보나치 수열을 이루는데) 어쨋거나 양변에 루트r_n을 곱하고, 문제의 극한값을 알파라 하면, 1/루트알파 = 1 + 루트알파 --> 루트알파 = (루트5 -1)/2 -> 알파 =(3-루트5)/2입니다.
잘 푸셨네요ㅎㅎ
칭찬받으니 기분이 좋네요ㅎㅎ 좋은 문제 감사합니다.