눈팅하다 본 문제 고교과정 풀이

워낙 테크니컬해서 모두가 할 수 있어야 하는 건 아닙니다 ㅋㅋ

ㄹㅇㅋㅋ

세번째에서 네번째 넘어갈 때 오타난 것 같네용

아 잘못 봤나

2x 치환하면 같은 모양 나오져 그게 핵심

한양대 왈 : 감점.

갑자기 궁금한건데 저 극한은 존재하니까 저렇게 두는게 되는데 안 존재하는 극한을 저렇게 k로 임의로 두고 풀면 어떻게 돼요? 모순 생기나

네 미적분학에서 배우시게 될 겁니다.
수렴을 가정하는 건 항상 불가하죠. 문제에서 주어지면 모를까.

수험생의 99.5%는 몰라도 될만한 내용이네요. 지적호기심만 해결하고 가세요~

뇌를 수학에 절이다보면... 될걸요 아마... 전 그러던데..

형 사랑해요

남친 자리가 비긴 했는데.

2018 한양대 수리논술 마지막 문제에서 극한계산할 때에 원래 적분판정법으로 해줘야하는 부분이 있는데, 합격자 중 그 부분 증명한 사람 한 명도 못봄ㅋㅋㅋㅋ 다들 시간 없어서 '그냥 0' 하고 넘어갔고, 실제로도 잘 합격했구요 ㅋㅋㅋ

저 극한 계산이 문제에서 차지하는 비중이 적다면, 감점이 없거나 매우 적은 감점 정도만 받을 겁니다.

시험 땐 잊도록,,

테일러 급수에서 얻어낸 부등식은 ㅆㄱㄴ

증명하라고 내겠죠?ㅋㅋ

저는 평균값정리를 사랑하기 때문에 이렇게 풀었습니다. 원래는 좌극한도 보여야하는데 귀찮아서 극한값 존재한다고 가정하고 우극한만..

아 마지막에 c를 넣어야하는데 습관적으로 x를 썼네요..쩝

c->0+ 이므로
다음 줄 등식이 항상 성립할까요? 만약 성립한다면, 미분가능한 함수의 도함수는 항상 연속이어야 할 겁니다.

어느 부분에서 오류가 있는지 알려주실 수 있을까요?

같은 논리로 미가 y=f(t)에 대하여 구간 [a,x]에서 평균값 정리를 써보신 후, x를 a+로 보내보세요.
똑같이 미가 y=f(t)에 대하여 구간 [x,a]에서 평균값 정리를 써보신 후, x를 a-로 보내보세요.
두 방식에서 좌변은 f'(a)를 의미할 겁니다. 미가함수니까요. 우변은 c->a f'(c) 를 의미하겠죠? 그러면, 이 등식은 f'(x)는 연속함수다.를 의미하게 되겠네요?

그런데 제일 대표적인 반례, x^2 sin(1/x)가 있죠. x=0에서 미분가능하나 그 도함수는 불연속인. 이 반례가 저 윗 과정으론 설명이 안되겠네요.

물론 이 부분에서 '어, 저건 틀렸어.'를 알아채기는 어려운 과정이 맞습니다. 극한을 엄밀히 정의하지 않아서이고, 고등교육과정에선 '안틀리면 이상한'수준의 논리이니 괘념치말기 바랍니다 ㅎㅎ

아 이렇게 나오면 다르부정리인가 그것때문에 바로 연속이 나오는군요..

아뇽 다르부 정리는 리미트가 먼저 존재를 하고나서 따지는 거라서...ㅎㅎㅎ 큰 상관은 없구요.

좀 더 말씀드리면, c는 구간의 양 끝 a, x에 대한 함수입니다. (물론 f 의 영향도 받죠.) x->a+로 간다고 c가 a+로 순수히 가리라는 보장이 없습니다. 가까워 지는건 맞겠지만, f가 안정해지면 c는 a와 x를 무작위로 움직이는 느낌이죠.
딱 이 정도로 제가 무슨 말하는지 이해가 돼셨다면, 수학과 강추합니다. 그럼 20000

c가 순수하게 가지 않고 무작위로 움직일 수 있다는 건 평소에도 생각하고 있었는데, 그럼에도 불구하고 x가 a+로 한없이 다가가면 c도 그럴 거라고 생각했는데..어렵네요. 그럼 이 논리는 도함수가 연속이라는 전제가 깔려있으면 써도 문제없나요?

네 맞구요, 아래 댓글은 여전히 아니죠 ㅎㅎㅎ 정확히는, '틀렸으니 저러면 안된다.'가 아니고 '안배워서 모른다.' 입니다~

c의 불순함을 알다니, 수학이해도가 꽤 높은 학생인 것 같습니다. 훌륭합니다~

그럼 다음부터는 도함수가 연속인지 확인하고 써야겠네요. 답변해주셔서 감사합니다. 그리고 칭찬해주신 것도 매우 감사합니다..ㅎㅎㅎ

네 ㅎㅎ

아, 그리고 수학적으로는 틀렸을지라도 순수 고교과정 내에서만 따지면 오류가 없는지도 궁금합니다,,

인수정리에 의한 식정리를 쓰는건 어떤가요?
어디 논술예제라고쳤을때

G(x) = e^x -x -1 으로 놓으면 극한값이 존재하기위해선 G(x)는 x^2를 인수로 가져야만 하므로 x^2g(x)=G(x) 로 놓고 g(0)를 구하기위해 양 식을 미분때리면 2xg(x)+x^2g'(x)=e^x-1 인데
x가 0이 아닐때 2x로 나눠주고 lim x->0 을 양 식에 취해주면 1/2가 나온다
이렇게 작성한다면...
추가 첨언해주실수있으실까요??

x->0 ln(1+x)/x=1 이라고 해서 ln(1+x)가 x를 인수로 갖는다는 표현은 안씁니다.
인수는 다항함수에서만 쓰는 용어입니다. 고등학교에선요~

사실상 x->0일 때 ln(1+x)~=x가 되는데, 이는 수능용 근사에 해당할 뿐 저 사실 갖고 ln(1+x)는 x인수를 갖는다고 얘기할 수 없어요. 100% 점수 못받습니다.

아하. ''다항함수'' 에서만 쓰는거군요 .. 180621 문제나 뭐 다른 논술문제에서 비슷하게 접근하는걸 토대로 생각해봤는데.. 걔네들은 다항함수라는 조건이 붙어있었군요..

주의해야겠네요

선생님 풀이처럼 lim x->0 e^x-1/ x =1 이 기본 정의에서부터 시작해서
문제의 꼴을 맞춰가는 식으로 조합해나가는 고런 마인드를 새로 적립해야겠네요

f(x+y)=f(x)f(y) 이런애들 함수 식 구할 때도 (편미분 사용 안하고)
리미트 h->0 f(x+h)-f(x)/h =f'(x) 여기서부터
시작해서 형태꼴을 맞춰나가듯이요

네, 근데 이 문제는 너무 특이, 발상적인 케이스라 구경에 그치셔도 충분합니다.

i) f(x)/g(x)에서, 분모와 분자가 0으로 수렴할 때 로피탈의 정리의 증명은 고교 수준에서 어렵지 않습니다. 이 문제의 경우, 엄밀히 말하자면 감점받을 일이 없습니다.

ii) x를 sqrt(t)로 치환하고 미분꼴로 바꿔도 되네요. 좌극한과 우극한을 모두 구해야 합니다.

번외: 도쿄대학 2003 후기에서, x > 0면 x - x^3/3! < sin x < x - x^3/3! + x^5/5!임을 증명하는 문제가 있습니다. 고교 교육과정으로 간단히 증명할 수 있으며, 테일러 급수를 이렇게 간접적으로 쓸 수 있습니다.

하지 말라고 한 적 없습니다.
할거면 증명해서 하면 되는데, 그 방법(로피탈 증명 후 적용하여 풀기)보다 그렇지 않은 방법 (=교과과정내로만 풀기)이 더 나은 문제들만 나오니까 비추하는 것이죠.

수험생이시라면 제 조언대로 하시는게 좋을 겁니다. 제 옛날 모습을 보는 것 같아요.
대한민국 입시에서 성공하려면, 그들 입맛에 맞춰서 공부해줘야합니다. 슬픈 현실이지만.

교수들은 감안하고 내니까요. 제가 교수보다 많이 안다는 것은 위험한 기대입니다. 교과 과정으로 풀어야지요.

정확합니다

수능에서도 선행 과정을 쓰는 게 의미가 없고 모든 문제가 교과 과정에서 풀리는데 논술은 오죽할까요. 다만 저는 흥미의 차원에서 "선행 과정의 개념" 을 쓸 수 있음을 보인 겁니다. 그게 재밌으니까요.

위에 말한 "엄밀히 말하자면"은, 다음과 같은 뜻이겠죠: 가능하나, 대부분의 경우 비실용적이다.