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뜳훏뚧훏 [412495] · MS 2012 · 쪽지

2013-06-01 16:34:41
조회수 3,070

왜 무리방정식의 실근이 실수평면 위의 교점이죠?

게시글 주소: https://a.orbi.kr/0003694010

왜 변수x의 무리방정식의 실근이
양변을 함수값으로 하는 두 함수의
실수평면 위의 교점의 x값이죠?

x+10 = 0
이라는 방정식을 풀 때
실근을 구하고 싶다면
실수평면위
y1 = x +10과
y2 = 0 의
교점의 x좌표 x= -10이 실근이겠죠

그런데
Root (x) + x + 10 = root(x) 라는
방정식의 실근을 구할때는
X=-10이라는
위 방정식을 만족하는 실근이 명백히 존재하지만

각 양변을 함숫값으로
하는 두 함수는 실수평면상에서
X가0이상일 때
정의되므로
실수평면에서의 두 함수는 교점을 갖지 않잖아요

그런데 왜 실근을 구할때
그래프의 교점만으로
전체 실근을 구했다고
어떻게 확신하죠?

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뜳훏뚧훏 [412495]

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  • 키르단 · 417961 · 13/06/01 16:41 · MS 2012

    Root (x) + x + 10 = root(x) 에서 정의역을 따져보면 x가 음수일 수 없자나요
    그래서 그림이 좌표평면에서 y축의 오른쪽에만 그려지죠

    그럼 교점이 없으니까 실근도 없어영

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  • 뜳훏뚧훏 · 412495 · 13/06/01 16:44 · MS 2012

    X= -10 있다구요...

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  • 키르단 · 417961 · 13/06/01 16:46 · MS 2012

    루트 안의 값이 음수면은 실수가 아니잖아요 그래서 x=-10은 위 식의 실근일 수 없다는 말이에요. Root(-10)이 실수가 아니니까요

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  • 뜳훏뚧훏 · 412495 · 13/06/01 16:49 · MS 2012

    실근이라는 것은 말그대로
    실수인 근입니다
    루트안의 식이 실수가 아니라고해서
    X라는 근이 실수가 아니라는 법은 없죠

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  • 키르단 · 417961 · 13/06/01 18:43 · MS 2012

    실수 범위에서는 루트 안의 숫자가 음수일 수 없기 때문에

    애초에 저 방정식에서 x의 범위가 0 또는 양수로 한정되는 거에요

    x에 -10을 넣으면 저 식이 성립하지만 -10은 고려 대상이 아님

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  • 뜳훏뚧훏 · 412495 · 13/06/01 18:55 · MS 2012

    실수평면위의 함수 즉,
    함수의 치역이 실수라고 한정했기에
    루트안이 음수가 아니라고 가정한것이지
    그러한 가정이 없는
    원래의 방정식에서는
    애초에 한정된다는 등의 조건이 성립할 이유가 없습니다

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  • dobdob · 448875 · 13/06/01 17:09 · MS 2013

    두 함수를 좌표평면 위에 나타낸다고하면 그 말 자체가 두 함수식을 허수로 표현하지 않게하는 정의역을 설정한다는거 아닌가요?

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  • 뜳훏뚧훏 · 412495 · 13/06/01 17:16 · MS 2012

    네 그러므로 실수평면에서의
    함수의 교점만으로는
    모든 실근을 확인할수 없지않겠냐는것이
    제 질문입니다

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  • dobdob · 448875 · 13/06/01 17:49 · MS 2013

    굳이 따지자면 그럴 수 있습니다만 고등학교 교육과정 내에서는 실수평면위의 두 함수의 교점만을 실근이라하죠. 근호안의 변수의 범위를 어디까지 확장하느냐에 따라 답은 달라진다고 봅니다.

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  • 뜳훏뚧훏 · 412495 · 13/06/01 18:05 · MS 2012

    고등학교 교과과정과 더불어 그 어느교과서에서도
    실수평면 위의 두 함수의 교점을 실근이라고 정의하지않습니다
    교과과정을 머리속에서 바꾸지마세요

    방정식의 실근이란
    해당 방정식을 만족시키는 근중에서
    실수인 해를 뜻합니다

    굳이따지자면이 아니라
    수학은 엄밀해야합니다

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  • dobdob · 448875 · 13/06/01 19:39 · MS 2013

    허허.. 방정식이라면 글쓴분 말씀이 맞는데
    님은 분명히 실수좌표계에서 말씀하셨기 때문에 그에 맞게 대답을 한겁니다.

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  • 뜳훏뚧훏 · 412495 · 13/06/01 20:08 · MS 2012

    좀 넘어가는 질문이긴한데
    고교과정서 루트안의 값을
    음이아닌 실수값만으로
    한정하는 이유를
    알려주시면
    감사하겠습니다

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  • saguanamu · 376672 · 13/06/01 20:56 · MS 2011

    실수평면 위의 두 함수의 교점을 실근이라고 정의하는것이 해석학의 근본입니다. 따로 정의할 필요가 없는 것이죠..

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  • 뜳훏뚧훏 · 412495 · 13/06/01 21:09 · MS 2012

    조금만 더 설명해주시면 감사하겠습니다

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  • saguanamu · 376672 · 13/06/01 23:01 · MS 2011

    수학은 엄밀해야 한다고 말씀하셨는데. 공리의 옳고 그름을 수학의 범위내에서 판단할수 있나요? 실수좌표계를 도입한 데카르트에 따르면
    아무리 복잡한 방정식이 주어져도 그들의 대수적/해석적 성질을 기하학적으로 설명할수 있다하였는데. 그것은 실수체계에 국한했던 것이죠..
    실수좌표계와 복소함수 좌표계의 차이점에 대한 인식이 필요할것 같습니다. 문득.. 데카르트가 그제자들에 행했던 화법이생각나네요...
    생각해보고 또 생각해보라.. 그래서 순수한너의 마음에서 우러나오는 생각이 옳다고 믿는다면 비로소 그때 받아들여라...ㅎ 너무 모호하고 관념적인가요?...
    포카칩님의 답글을 추천합니다. 열심히 하시길...

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  • 일반청의미 · 447559 · 13/06/02 16:40 · MS 2013

    실근이 실수인 근이고
    허근은 허수인 근으로 좌표평면에
    표현할 수 없습니다

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  • 다넬 · 366141 · 13/06/01 18:36 · MS 2011

    -10은 무연근 아닌가요..?

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  • 뜳훏뚧훏 · 412495 · 13/06/01 18:52 · MS 2012

    무연근은 실근도 아니고 허근도 아닌
    Extraneous 한 근입니다
    제곱등의 연산과정에서 생기는
    오류에서 생기는근이라고 보시면 됩니다

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  • 포카칩 · 240191 · 13/06/01 19:23 · MS 2008

    고등학교 1학년 무리식 교과 내용을 참고하겠습니다. (지학사)

    http://cfile235.uf.daum.net/image/250EAF4751A9CB9A12C862

    왜 이렇게 정의했냐고 물어본다면, 그것은 우리가 '그래프'라는 도구를 문제풀이에 '활용하고 싶어서' 그렇게 정의했다고 생각하는 것이 좋겠습니다.

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  • dobdob · 448875 · 13/06/01 20:03 · MS 2013

    이거면 납득하시겠네요.

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  • 뜳훏뚧훏 · 412495 · 13/06/01 20:13 · MS 2012

    저 "무리식의 값이 실수가 되려면"
    이라는 말이 없다면
    복소평면과 매개변수,
    즉 실수부,허수부,매개변수
    대략 3개의 축 이 있어야
    일변수 방정식의
    그래프의 교점만으로
    모든 실근을 확인가능한가요?
    두분 모두께 질문드립니다

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  • 포카칩 · 240191 · 13/06/01 20:15 · MS 2008

    네 저 부분이 무리식 설명 한쪽밖에 안되어있는데 그중 절반을 차지합니다.

    그 설명의 결론을 확인해보면, 결국 교육과정상에서

    '무리식으로 연산을 할 때에는 근호 안이 양수임을 전제로 한다'

    라고 이야기할 수 있겠습니다.

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  • 뜳훏뚧훏 · 412495 · 13/06/01 21:06 · MS 2012

    하나만 더 질문드리겠습니다.
    그럼 현재 수능출제 범위는 수1부터이므로
    실수의 연산만 고려하고,
    실근을 실수평면의 교점으로만
    한정짓는지 궁금합니다

    그러면 x^3=1의
    근의개수를 3개라고 말하는지도
    궁금합니다

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  • 포카칩 · 240191 · 13/06/01 21:10 · MS 2008

    실근이란, 좌표평면상에서 교점으로 해석해도 무방합니다.
    무리방정식의 "실근"을 구하라고 정확하게 표현하여 출제합니다.
    님이 말씀하신 내용의 무리방정식은 - 고교과정에서 무리방정식의 근의 범주에 애초에 들어가지 않습니다.
    즉, 거두절미하고 무리식 정의내릴때, 근호 안이 양수인 부분만 생각하기로 했으므로,
    Root (x) + x + 10 = root(x)
    에서는 x≥0인 부분이 '논의 대상'입니다. x<0인 부분은 생각할 필요가 없습니다.
    x= -1이 근이라고요? x= -1인 부분은 '무리식'이라고 정의하지 않아요. 근호 안이 허수인데 왜 무리식인가요?
    i는 무리수입니까? 저같으면 차라리 허리방정식이라고 정의하겠네요.

    수능출제범위는 수1~ 이지만, 통칭 고3까지 모든 커리큘럼을 밟았다고 가정하고 가정하여 출제합니다.
    수능에 출제되는 내용영역은 수1~이고, 다루는 용어, 식은 초/중/고교 교육과정을 따릅니다.

    x^3 = 1의 근의 개수는 3개입니다.
    x^3 = 1의 실근의 개수는 1개입니다. 왜냐하면 좌표평면에서 만나는 점의 개수가 1개이기 때문입니다.

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  • 뜳훏뚧훏 · 412495 · 13/06/01 21:18 · MS 2012

    아 이제야
    정의체계를
    조금이나마 명확하게
    알것같습니다
    감사합니다

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  • dobdob · 448875 · 13/06/01 20:23 · MS 2013

    댓글이 안달리네요. 제가 알기론 고교교육과정내에 근호안의 값이 음의 실수도 가능하다고 알고있습니다. 단지 그것을 통칭 그래프로 나타낼때 문제가 되는 거죠. 저도 수험생인지라 잘 모르지만 추측컨대 일반 고등학생이 배우기에 현재 교육과정까지가 가장 적합하다고 판단한 것 같습니다. 복소좌표계까지 확장하는건 내용도 좀 방대하고 하니 대학과정으로 넘긴것같습니다.

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  • 발산 · 317074 · 13/06/02 12:33 · MS 2009

    굳굳 좋은 질문에 좋은 답변 ㅎㅎ 실근에 대한 정확한 정의를 하나 하나 알아가시는게 눈에 보기 죻네용

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