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Evolved Slave II [872525] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2021-06-05 19:11:05
조회수 7,876

각 과목(미기확)마다 피지컬 기르는 법(기하)

게시글 주소: https://a.orbi.kr/00037887201

안녕하세요 오르비 닉 Evolved Slave II 입니다. 이번에는 지난번 미적분 편에 이어 수학 피지컬 자체에 관심이 있는 분들이 6평 이후로 드러난 약점을 바탕으로 기하 실력을 강화시킬 수 있는 방법에 대해 얘기해볼까 합니다. 공통 과목의 경우에는 반응이 좋다면 나중에 의견을 종합해서 올려볼 예정입니다. (확통은 내일 올라올 예정)


해당 공부법이 절대적으로 최적인 공부법이 아닐 수 있으니 무조건 대입해 보지 마시고 개인의 학습 역량에 맞춰 선택적으로 하셨으면 합니다. 이 정도를 개인의 역량에 맞춰 선택하는 것 자체가 하나의 공부입니다.


(1) 미적분: https://orbi.kr/00037822094/%EA%B0%81%20%EA%B3%BC%EB%AA%A9(%EB%AF%B8%EA%B8%B0%ED%99%95)%EB%A7%88%EB%8B%A4%20%ED%94%BC%EC%A7%80%EC%BB%AC%20%EA%B8%B0%EB%A5%B4%EB%8A%94%20%EB%B2%95(%EB%AF%B8%EC%A0%81%EB%B6%84)


(2) 기하: 공통 과목까지 공부하셨으면 수능 과목 치곤 느낌이 다르다는 생각이 드는 과목입니다. 그동안은 그냥 수식으로 이것저것 써서 딱딱 맞아떨어지는 걸 풀었는데....갑자기 그림을 그려서 최대 최소를 구하고, 길이와 넓이를 구하라 합니다. 그렇다고 따로 특이하게 배우는 발상은 머릿속에 잘 안 남습니다. 그냥 풀이를 봐도 '음 그렇지. 그렇지....어라? 답 나오네? 근데 이걸 왜 생각 못했지?'의 연속입니다.


이 당연한 것들의 모임이 풀이라는 특징 자체가 피지컬의 핵심이 중학교 도형이라는 걸 보여줍니다. 이전 교육과정인 기하와 벡터와 비교해서 벡터의 관점이 2D로 한정되었습니다. 다르게 말하면 '선분'과 '벡터'와의 가장 큰 차이점이었던 '기하학적인 상황의 수식적 접근'이 약화된 겁니다. 즉, 우리는 우리 눈에 당장 보이는 물체의 특징을 가장 기본적인 공리에 가까운 정리를 통해 확장하여 풀이를 만들어낼 수 있어야 합니다. 이를 잘 보여주는 예시와 함께 설명해보죠. 2011학년도 9월 평가원 25번 문제입니다.



보통 이 문제를 한 번이라도 풀어본 학생이라면 삼수선의 정리를 써야 함을 알 겁니다. 근데 처음 본 입장이라 가정하고 생각해봅시다. 삼수선이 바로 보입니까? 무슨 근거로? 직관에 의해서는 당연히 이면각을 구해야 하니 수선을 내려야 한다는 결론을 도출할 수 있지만, 가장 기본적인 도형의 성질에서 출발해보겠습니다.


우선, 직선 l,m,n이 서로 평행하고 같은 평면 위에 있지 않다고 합니다. 근데 우린 두 직선이 서로 평행하면 유일한 평면 하나를 만들어냄을 알고 있습니다.(개인적으로는 이 성질을 '증명'하려는 시도를 평소 공부할 때 하는 게 옳다고 보지만 간략하게 언급만 하고 이를 증명해보려는 건 독자들에게 맡기겠습니다.)


그럼 총 3개의 평면이 만들어지겠네요. 어라? 3D가 2D 3개로 쪼개졌습니다! 근데, 주어진 길이와 수직 관계를 보니 각 평면 안에서 도형에 대한 정보가 1개 이상 제공되었네요? 근데 삼각형 ACD을 포함하는 평면은 이 3가지 평면 그 어디에도 속하지 않는 새로운 평면입니다. 


평행하지 않은 두 평면이 만났습니다! 그럼 교선이 생기겠네요? 그 교선이 뭐죠? 직선 CD이겠네요! 아, 근데 두 평면 간의 이면각을 구하고 싶은데 점 A가 '붕 떠' 있어서 불편합니다. 어떻게 해야 할까요? 


직선 l을 통째로 직선 m,n이 만드는 평면으로 최단거리로 평행이동시킵시다! 그럼 위에서 위치 관계에서 거리 관계를 구할 때 얻은 길이를 통해 그 최단거리가 4임을 알 수 있고, 점 A가 직선 m,n으로 만들어진 평면 위에 '안착'된 한 점으로 표현됩니다. 즉, 이제 모든 점이 한 평면 안에서 나타남을 확인했으니 우리가 그토록 잘 하는 피타고라스의 정리로 직선 BC와 새로운 점 A'까지의 거리를 구합시다. 


점 A'에서 직선 CD에 내린 수선의 발을 점 H라 하면, 정의에 의해, A'H와 CD가 수직 관계이고, AA'와 A'H도 수직 관계입니다. 어? 뭐가 떠오르죠? 삼수선 정리의 조건이 완벽하게 성립합니다. 즉, A'H도 CD에 수직 관계이므로 우리는 삼각형 AA'H을 통해 두 평면의 이면각이 정해짐을 보일 수 있습니다.


어때요? 단계 하나하나는 너무나도 '당연'하지 않나요? 근데 문제로 만나면 왜 이리 힘들까요? 그냥 머리가 딸려서? 아닙니다. 평소에 이런 도형의 가장 기본적인 성질에 대해 다 따져보지 않아서 정리 그 하나 말고는 확장을 못 하는 상황이어서 그렇습니다. 


정리 하나를 만들기 위해 필요한 전제가 무엇이 있는지를 고민해보세요. 어떤 게 수직이어야만 하나? 아님 일반적인 각도일 때 무조건 성립하는가? 두 직선이 만나서 생기는 정리인가 아니면 한 직선과 그 밖의 두 점이 특수한 위치에 있을 때만 성립하는 정리인가? 이런 식으로 가장 기초가 되는 과정에 대해 의문을 품으면서 성립하지 않는 상황에 대해 빠르게 지워나갈 수 있고, 결국 답이 되는 상황 하나로 빠르게 좁혀나갈 수 있는 입지를 마련할 수 있습니다. 


이를 증명함을 통해 연습할 수 있는 게 중학교 도형 지식입니다. 이런 당연한 내용들이 하나의 정리로 만들어질 때 중학교 도형에서 자주 쓰이는 닮음, 합동, 평행조건, 수직조건 등이 자주 등장할 겁니다. 이를 자유자재로 사용할 수 있어야 기하의 관점이 넓어집니다. 이런 정리를 하나하나 보이면서 어떤 성질을 사용하는지에 대해 기록해보세요. 의외로 몇 안 되는 지식으로 여러 가지 정리가 도출됩니다. 그리고 이것이 도형이 정말 무서운 이유 중에 하나죠. 당연해 보이는 걸 직접 손으로 증명해 보일 수 있음을 확신하기 전에는 끝까지 의심하고 고민하세요. '~인 것 같다.' 만큼 막연하고 답 없는 게 기하에서 없습니다.


(3) 확률과 통계:


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