각 과목(미기확)마다 피지컬 기르는 법(확률과 통계)

안녕하세요 오르비 닉 Evolved Slave II 입니다. 이번에는 지난번 미적분 편에 이어 수학 피지컬 자체에 관심이 있는 분들이 6평 이후로 드러난 약점을 바탕으로 확률과 통계 실력을 강화시킬 수 있는 방법에 대해 얘기해볼까 합니다. 공통 과목의 경우에는 반응이 좋다면 나중에 의견을 종합해서 올려볼 예정입니다.

해당 공부법이 절대적으로 최적인 공부법이 아닐 수 있으니 무조건 대입해 보지 마시고 개인의 학습 역량에 맞춰 선택적으로 하셨으면 합니다. 이 정도를 개인의 역량에 맞춰 선택하는 것 자체가 하나의 공부입니다.

(1) 미적분: https://orbi.kr/00037822094

(2) 기하: https://orbi.kr/00037887201

(3) 확률과 통계: 초보자가 시작할 때 많이 막연한 과목입니다. 뭐 따로 테크닉도 없습니다. 굳이 경우의 수 배운 거 생각하면 중복조합? 중복순열? 아니면 원순열 정도? 아니, 진짜 배운 게 뭐 딱히 없어요. 그래서 문제로 낼 때 기본적으로 노가다 베이스 케이스 분류로 난이도를 높이는 게 많습니다. 

근데 이게 무슨 사고력 측정이냐고요? 놀랍게도 이런 케이스 분류 자체가 사고력 측정에 굉장히 적절하고, 이 중에서 디테일한 부분까지 짚어내는 실력 자체가 체계적인 데이터 구축에 핵심적인 역량으로 사용됩니다.

여러분이 9241개의 똑같은 구슬을 세야 한다고 생각해봅시다. 이 때, 편의를 위해 제공되는, 구슬이 20개는 충분히 들어갈 만한 주머니는 10000개 있고, 12개 이상의 구슬을 주머니 안에 넣을 경우 실수로 빠뜨릴 여지가 있고, 구슬 수든 주머니 수든 한 번에 세야 하는 게 세 자리를 넘어가면 헷갈릴 수 있다 합시다.

이 수를 하나하나 일일이 세서 각 주머니에다가 꽉 찰때까지 넣고 9241개가 되는 걸 확인하는 게 최선의 길일까요? 혹시나 다 셌어도 그 많은 수 중에 중간에 실수로 빼먹었을 수도 있고, 건너뛴 구슬이 있을 수도 있습니다. 이런 경우에 여러분들은 어떻게 하실래요?

한 가지 해결법으로는 10진법 체계를 이용해 9241=10×924+1이니 주머니 당 10개씩 총 924개의 주머니에 구슬을 넣고 나머지 1개 구슬이 있다는 걸 통해 구하는 겁니다. 이는 검토할 때도 직접 노가다하는 것보다 훨씬 편리할 겁니다. 하지만 이도 주머니 개수가 너무 많아 실수할 여지가 있다는 점에서 불안한 카운팅이긴 하죠.

근데 저는 처음에 11개씩 묶음을 만들어서 주머니 당 11개씩 구슬을 넣고 그냥 무지성으로 주머니수를 생각하지 않고 계속 쓸어담을 겁니다. 그럼 9241=11×840+1이니 구슬이 1개 남을 겁니다.(실제 나머지가 1이라는 걸 보여주기 위해 연산을 한 거지 주머니수는 세본 상태가 아닙니다.)

그러고는 이번에는 묶음으로 7개씩 만들어서 기존에 있던 구슬을 다시 7개씩 주머니에 넣을 겁니다. 이번에도 무지성으로 주머니수를 생각하지 않고 무조건 주머니 안에 구슬 개수가 7이 되도록 쓸어담습니다. 그럼 9241=7×1320+1이니 정확히 셌으면 또 구슬이 하나 남습니다. 

가정에 의해 주머니 당 11개 이하로 구슬을 집어넣었으므로 주머니 안에 11개 넣는 걸 빠뜨릴 가능성은 없고, 주머니 개수를 세지 않았으므로 애초에 주머니수를 착각하여 구슬을 덜 세거나 더 셀 여지도 없습니다. 그냥 둘 다 나머지가 1이니 두 방식으로 막 고르면서 맨 마지막에 나머지가 둘 다 1인 것만 확인했으면 무조건 똑바로 센 겁니다.

어때요, 그냥 단순 노가다로 보이는 문제도 더 정확히 덜 고생하며 세는 방식이 있다는 게 신기하지 않나요? 이게 확통과 미적분의 가장 큰 차이이기도 합니다. 확통은 '셀 수 있는' 정수 세계에서 적절한 틀을 잡고 혼동 없이 정확한 값을 구할 수 있는 세계이고, 미적분은 '셀 수 없는' 실수 세계에서 미분한 값이든 원래 값이든 0이나 특수한 숫자가 되는 '지점'을 찾아 이를 바탕으로 특정 값을 구하는 세계입니다.

세서 구할 수 있는 세계면, 제일 처음에 해야 할 건 직접 부딪혀보면서 틀리게 세보기도 하고, 맞게 셌으면 좀 더 체계적으로 어떤 묶음으로 나눠서 잘 쪼개서 볼 수 있을지에 대해 고민해야 합니다. 

이 과정이 아주 노가다스럽다는 건 동의합니다. 하지만 이를 고민하면서 여러분의 수에 대한 감각이 크게 향상됨에는 이견이 없고, 이런 시도에서 N배수의 나머지에 대해 공통점을 찾으면 좀 더 간단하게 케이스가 줄어듦을 발견하고 결국 확률과 통계는 깔끔히 나눠떨어지는 자연수 체계에서 어떤 수를 '더하고, 곱하고, 빼서' 세기 편한 새로운 묶음을 찾는 거라는 생각이 들면수능에서 확통은 사실상 단순 산수에 불과하다는 걸 알게 될 겁니다. 최종적으로는 귀납적으로 세지 마세요. 큰 판을 짜고 그 안에서 미세조정한다는 생각으로 세고 들어가세요.