19) 매끄러운 곡선 ㅗㅜㅑ

와 ㄹㅇ ㄹㅈㄷ다,,, 어떻게 이런 걸,,,, 야해요,,,

여러분의 관심을 끌 만한 제목을 빅데이터를 토대로 분석하여 작성해보았습니다.

어그로 끌렸다면 조와요 꾸욱! ㅋㅋㅋㅋㅋ

오늘의 주제는 대충 제목으로 유추하셨을 지도 모르겠지만 미분가능으로 정하였습니다.

어떤 함수가 x=a에서 미분 가능할 조건은 함수가 그 점에서 연속이어야 하고, 미분계수가 존재해야 한다는 것입니다.

문제로는 주로 한 점에서 미분가능할 조건이나 실수 전체 집합에서 함수가 미분가능할 조건 등을 많이 묻습니다.

한 점 미분 가능은 그냥 꾸덕꾸덕 계산하시면 될 거구요, 실수 전체 미분 가능은 미분 불가능할 수도 있는 지점(구간 별로 정의된 함수에서 연결지점, 절댓값함수에서 함숫값이 0인 지점 등)을 추려서 그 부분에서 미분가능하도록 만드는 방식으로 하시면 됩니다..

f(x)가 x=a에서 미분가능하지 않을 때 (x-a)^n×f(x)가 미분가능하도록 하는 n의 최솟값에 대해서도 많이 문제가 나오니까 이 부분에 대해서도 정리를 해보시는 걸 추천 드립니다..

오늘 다루어볼 문제는 2022학년도 6월 모의평가 공통 14번 문항입니다.

(어머머,,,, 너무 무섭게 생긴 거신,,,, ㅜㅅㅜ)

일단 (가) 조건의 식을 보겠습니다.

x!=0이라 하고 양변을 x로 나누어 식을 정리하면

g(x)=|x|/x × |f(x-p)+q| (x!=0)

여기서 일단 조금 더 간단하게 관찰을 하기 위해

f(x-p)+q=h(x) 라고 하면,

g(x)=|x|/x × |h(x)| (x!=0)

i) 연속성 판단

 |h(x)|은 연속이고 |x|/x는 x<0일 때 -1, x>0일 때 1입니다.

따라서 x=0일 때 연속이 되려면 h(0)=0이어야 합니다.

(h(0)=k라 했을 때 -k=k에서 k=0)

ii) 미분계수의 존재성 판단

 일단 의심점은 x=0과 h(x)=0인 점이 있겠습니다.. 먼저 x=0에서를 살펴 봅시다.. x=0을 경계로 h(x)의 부호가 변하는 경우와 변하지 않는 경우가 있을 수 있으니 두 가지 모두 천천히 생각해봅시다.

 먼저 부호가 변하는 경우, g(x)는 x=0 근방에서 h(x)나 -h(x)로 식이 변하지 않게 되므로 그냥 다항함수이니 미분가능할 것입니다. 부호가 변하지 않는 경우에는 h(x)가 축에 접하므로 h'(0)이 0이 되어 g'(0)도 0이 되어 미분 가능하게 됩니다.

 따라서 h(a)=0, h'(a)!=0이고 a!=0인점이 하나 존재해야 합니다. h(0)=0, h(a)=0에서 삼차방정식의 실근은 3개이므로 h(x)=0의 0과 a가 아닌 실근이 존재하는 경우와 x=0에서 중근을 갖는 경우를 생각해볼 수 있는데, 전자의 경우 g(x)의 미분불가 점이 더 생기게 되어 탈락이고 후자를 택하면 되겠습니다.

이제 h'(0)=0, h(0)=0이 되도록 적당한 p,q 값을 찾으면 됩니다. 끗,,,

오늘 글은 어떠셧나요,,,, 

보고 싶은 주제나 있으면 댓글 남겨주새오

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