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Evolved Slave II [872525] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2021-07-08 16:50:40
조회수 4,049

수능에서 귀류법의 사용 및 다항함수 개형의 파악

게시글 주소: https://a.orbi.kr/00038427343

오늘은 2019년 7월 시행 중에 가장 어렵다고 평가받은 가형 30번 문제를 풀어보며 어려운 문제에서 귀류법을 실제로 사용하는 상황이 언제 있고 평소에 그래프 개형을 생각할 때 이 개형을 어떻게 적용할지에 대해 얘기해보도록 하겠습니다. 문제 원본입니다.


문제)


아마 당시 현역 중에서 최상위권들이 현장에서 사용한 풀이는 다음과 같을 텐데, (사진 원본: https://orbi.kr/00023535154)


실제로 이렇게 풀면 제가 지하철에서 처음 문제 읽으면서 문제 상황 파악 후 과외 시작 전 5분동안 쓴 풀이이니 길어도 20분? 정도 걸렸을 거에요. 이 풀이가 틀렸다고 말하고 싶은 게 아니에요. 다만, 이건 어디까지나 현장용 풀이이지 기출로서 문제를 분석할 때는 이보다도 더 빠삭하게 문제 상황을 파악해야 하고 파악하는 과정에서 상당히 얻어갈 게 많은 문제라 이를 토대로 분석해 보겠습니다. 위에 있는 풀이처럼 손글씨 풀이로 대체합니다.



위의 풀이와 같이, 정수 n에 대해, x=2n인 실근은 g(x)의 분자가 0이 될 수 있으므로 미분가능성에 대해 생각했을 때 

f(2n)=0이면 f'(2n)도 0임을 보였고, 제일 우선순위로 x=0에서의 미분가능성을 조사해야 합니다. 0도 2n꼴이니까요.



이제 여기서 갈립니다. f(0)=0임이 확실하지 않습니다. 직접 따져봐야 합니다. f(0)=0이 아니라고 현실 부정해봅시다. 가정이 참이라 생각하고 전개해 나가니 f(0)=0이라는 결론이 나옵니다. 아, 가정이 잘못되었군요. f(0)=0입니다. 이 방법 자체가 귀류법입니다. 아주 어렵게 생각할 필요 없이, 맞는지 틀린지 확실하지 않은 명제에 대해 참거짓을 판단할 때, 옳지 않은 가정을 세워 틀림을 보이는 겁니다. 그 가정이 맞으면 맞는 거고요.


그럼, 앞에서 결론낸 것처럼 f(0)=0임을 통해 x제곱꼴임을 보일 수 있습니다. 이제 x=2a에서도 보여야 하는데, 주어진 게 너무 적습니다. a가 자연수(이거면 제일 좋은데)인지도 모르고.....조건에서 얘기했던 f(x)가 x=a의 극댓값 조건을 써보죠.




이제 여기서 그래프 개형을 사용해야 하는데, 이미 조건에서 f(x)가 x=a(a>0)에서 극댓값을 갖는다고 했으므로 최대한 x=a에서 극값을 가지는 그래프 중에서도 말이 되는 그래프를 생각해 보면 크게 f(a)가 0인지 아닌지로 나눌 수 있습니다. 이 때, 케이스를 나눠야 합니다. 


여기서도 귀류법을 써도 되기는 하는데, 그냥 여기서는 케이스를 나눠서 두 경우를 나눠서 써봤습니다. 이렇게 하면 다음과 같이 k>0임은 알 수 있고, g(1) 값을 통해 f(1) 값도 구할 수 있으니 위에서 구한 걸 종합하여 a=4를 얻어내 g(-1)값을 구할 수 있습니다.



자, 풀이는 여기서 끝났고, 이 문제를 풀면서 어떤 걸 생각해야 했을까요? 우선



1. 분자가 삼각함수 꼴이므로 삼각함수 극한을 생각하여 0이 되는 지점을 생각했어야 했고,


2. 사차함수의 최고차항 계수를 주지 않은 상태에서 극값이 아닌 극댓값 조건을 주었으므로 계수의 음양에 따른 케이스분류를 통해 개형을 확정시킬 생각을 해야 하고,


3. 미분계수의 정의를 통해 특정 점에서 도함수 값이 0인지 아닌지를 판단해야 하고,


4. 사차함수라는 성질을 이용해 극값을 가지는 실근 개수가 최대 몇 개까지 가능함을 보여야 합니다.



직관적으로 그럴 것 같다 하고 그냥 풀면 솔직히 20분이면 푸는데, 자세히 분석하면 20분 정도로 끝나는 분량이 아닌거죠. 킬러 기출문제를 풀어보라는 제 근거가 여기서 나오는데, 예전에 어렵다고 평가받은 문제를 풀면서 그냥 준킬러 문제 몇 개에서 하나하나 끊어서 봐야 하는 개념들을 한 방에 정리할 수 있습니다. 


당장 이 문제만 해도 삼각함수 극한을 자유롭게 다루지 못하거나 미분계수를 잘 다루지 못하거나 사차함수의 개형을 잘 이해하지 못했거나 하면 그 하나로 못 푸는 문제입니다. 즉, 자신이 어디 개념에서 약한지가 문제 풀이 단계에서 끄집어낼 수 있는거죠. 이런 문제들을 접하면서 논리적인 풀이, 아예 엄밀하진 않아도 적어도 그걸 생각할 수 있는 계기가 되는 내용들을 고민하다 보면 기출 분석으로 충분히 어려운 고난도 문제를 해결할 수 있을 겁니다.



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