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므아아앙 [1069161] · MS 2021 (수정됨) · 쪽지

2021-07-11 11:20:09
조회수 6,328

이 짤 누가 합성한 건지 모르겠는데,,, 야해요;;

게시글 주소: https://a.orbi.kr/00038478214

ㅇㅏ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋ ㅋㅋ ㅋ ㅋㅋ ㅋㅋ ㅋㅋ ㅋㅋㅋ


ㅇㅏ 근데 이거 올려도 되나,,, 너무 야한ㄷㅔ;;



게이야가 뭡니까 게이야가 ㅋㅋㅋ

게이야,,, 라는 말,,,, 너무 야해요,,,



오늘도 빅데이터를 이용해 분석한 결과를 토대로 제목을 정해봤습니다


역시나 들어오셨군요 환영합니다!! 기왕이면 끝까지 읽어주시죠,,,


오늘의 주제는 합성함수 해석입니다.. 미적분 선택자가 아니시라면,,, 죄송합니다,,,,


일단 y=f(g(x)) 꼴에서 저 함수는 f(x)와 g(x)의 합성함수라고 합니다. g(x)의 치역에서 나온 원소들이 f(x)로 다시 들어간다고 보시면 됩니다..


주로 합성함수의 해석이라고 하면 묻는 정보는 극대/극소 점이나 h(x)=h(a)의 근의 개수 같은 정보들이죠.


먼저, 극대 극소점에 관한 것은 {f(g(x))}'=f'(g(x))g'(x)이므로 f(x)가 극점을 갖는 x좌표를 a라 했을 때 g(x)=a와 같이 되거나 g(x) 자체가 극점을 갖는 점들이 합성함수가 극점을 가지는 점들이 됩니다.


극대가 되는지 극소가 되는지는 어떻게 판단할 수 있을까 하는 부분도 잠시 다루어 보기로 합시다.


 먼저, 겉함수가 극점을 가질 때에는 그 경향성이 그대로 유지가 됩니다. 극대 극소의 정의가 x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 모든 x에 대해 f(x)<=f(a)(극대), f(x)>=f(a)(극소)인 것을 생각하면 쉽게 알 수 있으실 거라 생각합니다. g(p)=a라 했을 때, x=p 근방에서 f(g(x))<=f(g(p))=f(a) 또는 f(g(x))>=f(g(p))=f(a) 와 같이 될 테니까요..


 다음으로, 속함수의 극점에서는 겉함수가 증가하는지 감소하는지에 따라 다른 결과가 나오게 됩니다. 증가한다면 그대로 나오게 되고, 감소한다면 반대로 나오게 되는데 이 부분은 직접 해보시기 바랍니다. 


관련 기출 보겠습니다.


2021학년도 수능 수학 가형 30번

먼저 0<x<1에서 sin²(pi×x)가 어떻게 움직이는지를 관찰해보면.. x=1/2에 대해 대칭이 되는 것을 알 수 있습니다. 그럼 g(x)도 x=1/2에 대해 대칭인 함수가 되겠죠.. 그러면 g(x)가 0<x<1에서 극댓값을 갖는 점이 세 개가 되려면 x=1/2일 때는 일단 극대가 되어야 하는 것을 알 수 있고, 속함수가 극대인데 합성함수도 극대인 상태이므로 겉함수는 x=1-에서 증가임을 알 수 있습니다.


이제 극댓값을 갖는 점이 세 개이고, 극댓값이 모두 같다는 것을 생각해보면 0<p<1, f'(p)=0, f(p)=f(1)인 점이 존재한다는 것을 알 수 있습니다. 그리고 (나)의 최댓값 조건과 엮어서 생각해보면, f(p)=f(1)=1/2이라고 확정지을 수 있습니다. (f(x)에서 [0,1] 부분만 보면 되는데 p,1에서가 최댓값 후보이고, 둘이 같은 값을 가지므로 이 때가 최대가 됨)


이제 최솟값 조건을 봐야 하는데 최솟값 후보는 극솟값이랑 f(0)입니다. 그런데 극솟값이 0이 되는 것은 불가능 (극소인 점과 극대인 점의 x좌표 차는 극댓값과 극솟값의 차가 1/2이므로 1이어야 하는데 극대/극소가 [0,1]에 모두 나오는 것은 불가능) 따라서 f(0)=0.


f(x)=(x-1)(x-p)²+1/2, f(0)=0에서 -p²+1/2=0에서 p=1/sqrt(2)이고 따라서 f(2)=5-2×sqrt(2). 답 29.


(현장 풀이 거의 그대로 옮긴 거라 다소 좀 그렇네요...)


2019학년도 수능 수학 가형 30번

g(x)에서 분모를 일단 봐봅시다. 2+sint 꼴이니까 1<=(분모)<=3임을 알 수 있고, 1/3<=g(x)<=1이 됩니다. 여기서 g(x)=1 (sinf(x) = -1)인 지점들은 연속함수에서 최댓값을 갖는 점들이니 곧 극대인 점들이 될 것이고, g(x)=1/3인 점들(sinf(x) = 1)은 최솟값을 갖는 점들이니 극소인 점들이 될 것입니다. 따라서 f(x)=n×pi+pi/2 를 만족하는 점들은 일단 극점들이 됨을 알 수 있습니다.


 한편, g(x)= 1/(sint+2) ∘ f(x)이므로 f(x) != n×pi+pi/2, f'(x)=0인 점들은 극점이 될 수 있는데, 극점이 되는지, 극대인지 극소인지 따져봐야 합니다. 


 g(0)에서 극점이지만 g(0) !=1/3, g(0) != 1이므로, f'(0)=0임을 알 수 있습니다. 또, sin f(0)=1/2 이어야 하므로 f(0)=pi/6임을 알 수 있습니다.


 1/g(a5)=1/g(a2)+1/2에서 sin f(a5) = sin f(a2) + 1/2인데, 그러면 둘 다 1 또는 -1인 것은 불가능하니 둘 중 하나는 f'(x)=0임을 알 수 있습니다.


 여기서 이제 케이스를 나누어서 봐야 하는데, f'(a2)=0인 경우와 f'(a5)=0인 경우로 나눠서 잘 해보시기 바랍니다. 제가 주요하게 다루고 싶었던 파트는 끝나서 이 문제는 여기까지 하겠습니다.


시간적인 여유가 되신다면 2019학년도 9월 모의평가 수학 가형 30번도 풀어보시기 바랍니다. 얘네랑 느낌이 죰 달라서 뺌


네 오늘 글도 잘 읽으셨는지요,, 좋아요 많이 눌러주세요!!


**오류 지적 환영**


이따 저녁 때 글 하나 더 올릴게오,,, Bye...

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므아아앙 [1069161]

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