[열공수학] n등급 (n>2) 수학A형 독학 학습법 4 (Part3)

part1 http://orbi.kr/0004485434

part2 http://orbi.kr/0004485557

이어서 part3를 씁니다.

오늘 쓸 칼럼 내용은

그래 당신 말이 맞다고 칩시다..

그럼 개념으로 어떻게 문제를 풀어 나가야 하나요?

고등 개념이 필요한 것은 아닌가요?와 관련해서

3월, 4월 모평 문제를 가지고 설명을 드리려고 합니다.

칼럼을 읽으실 분들은 3월 모평, 4월 모평 문제지를 옆에 두고

칼럼을 읽으시기 바랍니다...

(칼럼을 쓰면서 한가지 특이한 경향을 발견 했는데

추상적으로 “이렇게 이렇게 하면 된다”라는 글에는 호응이 높지만,

구체적으로 이단원에서 이렇게 해야한다는 글에는 호응이 없습니다.

즉, 읽으시는 분들이 그냥 대충 읽는다는 것입니다.

200일 남았는데 2등급 될 수 있을까요? 라는 글에 당연하죠

저는 150일전부터 했는데도 2등급이 되었습니다..라는 댓글과

학생들의 기대와 바램의 글이나, 제가 쓴 수학 칼럼이나 같다는 이야기

일 듯 싶습니다. 즉, 다들 좋아요를 누르고, 수학을 잘하고 싶은 마음은

있지만 구체적으로 노력하지는 않는 것으로 보입니다.)

암튼, 마지막 칼럼이 될지 모르겠지만

각설하고 3월, 4월 모평 기준으로 아래의 내용으로 풀 수 있는 문제들을

살펴보겠습니다.

3월 모평부터 살펴보겠습니다.

1번 문제는 못푸시는 분이 안계실거라고 생각합니다.

2번 문제는 2x2 행렬의 곱셈만 할 수 있으면 설명할게 없습니다.

3번 문제는 극한에서의 핵심은 분모의 최고차항으로 나누는 것입니다.

즉, 분자/분모를 n제곱으로 나누면 풀립니다.

4번 문제는 등차수열의 성질을 물어보는 것입니다.

a3=a+2d = 10, (a+3d)-(a+d) = 4를 풀면 됩니다.

5번 지수방정식 문제는 밑을 3으로 일치시키면

지수 좌변은 2x=3(2x-4)를 풀면 됩니다.

6번 등비수열의 성질을 물어보는 것입니다. 프린트에서 등비중항을 이용하되,

원리에 입각해서 풀면 됩니다. (등비중항 a,b,c 세 수가 등비수열 b2=ac

4 = a(1/2)2 * a(1/2)6 이므로 양변에 28을 곱하면 210 = a2이 된다.

이걸 풀면 a는 32와 -32가 될텐데 양수 a를 구하라고 했으므로 32이다.

(즉, 문제를 풀면서 왜 양수 a를 구하라고 했는가를 생각하면서 풀자)

7번 연결관계는 빨리 풀려고 하지말고, 4 x 4 행렬을 직접 그려서 구하세요.

구한 행렬을 곱하면 원하는 답을 찾을 수 있습니다.

8번 연립일차방정식에서 x=0, y=0 이외의 해를 가지려면 행렬을 정리해서,

ad-bc=0이어야 합니다. 또는 그게 이해 안가거나 모르겠으면

행렬식을 전개합니다. 3x-3y=kx -> (3-k)x-3y = 0

3x+5y=-ky -> 3x+(5+k)y = 0 의

두직선이 같은 직선이 되게 만드는 k를 구해도 됩니다.

즉, 3-k/3 = -3/(5+k)로 풀어도 된다는 겁니다.

9번의 등비수열 점화식의 꼴을 알아야 됩니다.

점화식이 나타나면, 일반적으로 An+1의 항 앞에 숫자는 1이 되게 해야합니다.

점화식의 의미는 다음과 같습니다. (An+1과 An의 관계식으로 나타낸다)

따라서, 식을 정리하면 An+1=7/2An이 되며, 이것이 등비수열이라는 것을

알아야 문제를 풀 수 있습니다.

그렇다면 An = 1 * (7/2)n-1 이 되고, 문제에서 원하는 1/An = (2/7)n-1

이 될 것입니다. 여기서 2/7는 -1이므로 등비수열 합공식으로 풀리겠다

라는 생각이 들어야 하고, 10을 밖으로 빼내면 1/1-(2/7) = 7/5이 되고,

10을 곱하면 14가 됩니다.

10번 부터는 그림도 있고 해서 핵심적인 발상만 적도록 하겠습니다.

10번은 문제의 조건대로 푸는겁니다. PQ=2QR이고, h(2)는 2이므로 a = 루트2 > 1

h(x)와 f(x)는 y축 대칭이므로 P점의 좌표는 (-2,2)이다.

Q점의 좌표를 (k,2)라고 두면 (k-(-2)) = 2 (2-k)가 성립하므로, k=2/3이고

g(x)에 대입해서 계산해보면 b=2루트2가 나온다.

11번은 2의 f(x)승을 t로 치환해서 지수 부등식을 풀고, f(x)에 대해 다시 풀면 됩니다.

12번은 극한문제이긴 한데, An식을 만들기 위해서는 세장이 짝수가 되려면

짝+홀+홀 이거나 짝+짝+짝으로 나와야 한다는 것과, 순열개념을 알아야 하므로

지금실력으로 풀기는 어렵습니다.

13번은 X절편, Y절편 개념만 명확히 안다면 반드시 풀어내야 하는 문제입니다.

문제에서 A=(3/4)5 E * B 라는 것을 생각해 낼 수 있다면 틀리기 힘든 문제입니다.

14번도 X절편, Y절편만 안다면 1/2 * X절편 * Y절편 ≤ 1/10 로 놓고,

양변에 상용로그를 놓으면 바로 풀립니다.

(13,14번 연결 문제의 경우 다른 시험을 볼 때에 그림을 각각 그리는게 좋습니다)

15번은 등차수열 합공식과 수학(상)에 배우는 부정방정식을 이용한 문제인데,

실전에서 쉽지는 않았을 것으로 보입니다.

16번은 양변을 통분해서 뒤집은 다음에 An*An+1로 나눈다는 사실을 캐치하는 것이 핵심,

(나)를 구하는 과정은 계차수열 점화식을 활용하면 바로 풀립니다.

17번은 그림이라 pass (초항 구하고, 보조선 긋고, 공비 구하고, 등비수열 합공식 이용)

18번은 P가 A1부터 A20까지의 합이라면, 주어진 식을 20까지 해서 더해보면 풀린다.

(결국, 18번을 풀 수 있느냐가 수열을 원리로 공부한 학생과

그냥 공식만 외운 학생을 구분하는 문제이다.)

19번 - 행렬 합답형 문제는 A의 역행렬이 존재하는지 확인, AB = BA인지 확인하면

ㄱ , ㄴ 이 풀리고, ㄷ 번은 ㄱ,ㄴ을 활용해서 확인한다.

20번 - An = 4n + a (단, 0n+1 + b (단, -1으로 놓고

분모의 최고차항 (여기서는 4n 으로 놓고 풀면 풀린다.)

물론 시험장에서는 주어진 극한식이 An, Bn으로 주어져서

풀기 어렵구나라고 생각하고, An, Bn 식을 찾은다음에 원칙인

분모의 최고차항으로 나눈다를 떠올리면 된다.

21번 - 발견적 추론으로 풀 것

22번 - 로그의 중요한 성질인 로그의 합은 진수의 곱을 이용하면

x = 2(x-6)을 풀면 된다. (풀고 진수의 범위를 벗어나지 않는지 확인할 것)

23번 - A제곱을 구하면 A 3승, A 4승은 A제곱을 이용할 수 있다.

(절대로, A, A제곱, A3승, A4승을 전부 계산해서 일일이 더하는 문제는 출제안됨)

24번 - 극한 문제중에 단순유리화 하면 되는 문제임 (주는 문제이므로 못풀면 절대 안됨)

25번 - AO, BC 직선의 방정식 구해서 교점 찾으면 됨 (주는 문제이므로 못풀면 절대 안됨)

* 25번이 안풀린다면 수학(상)에서 시작할 것

26번 - 로그문제, 정의대로 풀면 됨 (주는 문제이므로 못풀면 절대 안됨)

27번 - 옆의 글 참조 http://orbi.kr/0004480884

28번 - 정의에 입각해서 풀면 됨 (안풀리면 수학실력이 향상된 다음 다시 도전할 것)

(가) PQ = 2SR이므로, PQ의 길이는 P점의 y좌표 (즉, 밑이 1/9인 log식에 a를 대입)에서

Q점의 y좌표(즉, 밑이 3인 log식에 a를 대입)를 뺀 것이고,

SR의 길이는 S의 y좌표 (즉, 밑이 3인 log식에 b를 대입), R의 y좌표를 뺀다.

(나) a+b/2 = 9/8

(가), (나) 식을 활용하면 풀리는데, 계산이 조금 어렵다.

29번 문제는 K log Ak를 Bk로 두면 Sn = n2 - n 이 되고,

이걸 보자 마자 Bn = Sn - Sn-1 이 겠구나 가 떠올라야 개념 공부가 제대로 된 것이다.

따라서 계산해보면, Bn = 2n-2이고, log Am = (2m-2)/m 이다.

그러므로, 1 + (m-2)/m이 지표와 가수이므로 m=20

30번 문제는 문제는 좋으나, 3등급 이하에게는 풀기를 추천하지 않는다.

발상은 내접원을 이용하는 넓이 구하기 방식을 활용해서 An을 구하고

(삼각형 넓이 구하는 방식1 = 1/2 ab sin Θ = 방식2 = 1/2 (a+b+c) * 내접원r)

Bn은 세점을 이용해서 외접원의 일반식을 구하면 된다.

4월 문제로 넘어가면 - 중요한 것 만 언급하겠다.

1번 ~ 8번 : 3월과 동일함

9번 : 계차수열 점화식 활용하면 바로 풀림

10번 : 극한의 성질이 응용되었으나, 분모의 최고차항으로 나눈다는 원칙으로 풀면됨

즉, 위의 무한급수가 수렴하려면 2-(An/9n) 이라는 수열이 0으로 수렴해야한다.

따라서, (An/9n) 수열은 n이 무한대로 갈 때에 2로 수렴한다.

An/9n 이 2로 수렴하므로, 아래의 식의 양변을 9n 으로 나누어 주거나,

아니면 분모의 최고차항 개념으로 An으로 나누어줘도 무방하다. (단, An을 구할 것)

11번 - 3월 모평 26번과 동일한 문제

- 로그문제, 정의대로 풀면 됨 (주는 문제이므로 못풀면 절대 안됨)

12번 - 함수의 극한에서 설명 (제대로 공부하면 매우 쉬운 문제)

13번 - 문제의 정의대로만 풀면 됨

OP = 1, OR = 1 + r (작은원의 반지름), QR = 2 + r

이 세 개의 숫자가 등비수열을 이룬다.

(1+r)2 = 1 * (2+r)을 풀면 된다.

근의 공식으로 풀었던 r 값은 2개 일텐데

이 때 조건을 확인할 것 (0루트2)

14번 P점에서 수선을 그어서 그 수선이 X축과 만나는 점을 h라고 하면

결국, OH의 길이가 f(r)이다. 두 개의 삼각형을 이용해서, PH를 구하면

12 - f(r)2 = r2 - (1 - f(r))2 이 성립한다.

따라서, 윗 식을 정리해서 대입하면 풀 수 있다. (분모를 인수분해해야 한다)

15번 로그의 성질을 이용할 것 (중요함~!)

16번 부분 분수 분해를 이용해야 한다.

16번을 풀수 있느냐 없느냐가 역시 개념이 제대로 되어 있는가를

확인할 수 있는 좋은 문제이다.

(2n+1)/n2(n+1)2을 봤을 때 (n+1)2에서 n2을 빼보고, 2n+1이라는 생각이 들어야

부분분수 분해의 개념을 정확히 이해한 것이다. (1/A*B) = (1/B-A)*(1/A - 1/B)

17번 이 문제를 풀 수 있으면 무한등비수열의 개념이 정확히 이해 된 것임

역시 이 문제도 원리에 기반해서 분모의 최고차항으로 분모, 분자를 나누어 줄 것

그리고, X의 범위에 따라 함수식을 뽑아내서 그래프를 그리면 됨

18번 1번에 안풀리면

시험장에서 가장 나중에 풀 것 (이 문제는 한번 막히면 시간만 잡아먹음)

역시 푸는 방법은 초항, 보조선, 공비, 무한등비급수 합공식 임

19번 - 원리에 기반한 매우 좋은 문제임

두 함수가 역함수 관계이면 y=x에 대해 대칭임. y=x 그래프를 그리고

Pn, Qn 점을 표시 할 것 Pn (n, 2n), Qn (2n, n), (0,0)을 지나는

삼각형의 넓이 구하는 공식을 쓰면 풀린다.

단, 그 공식은 도출과정 증명을 반드시 할 것 1/2 * I x1y2 - x2y1 I

20번 - 절대값 구간을 나누어서 y=k와의 교점을 구하고,

2 a3 = a2 + a4를 이용하면 바로 풀림

21번 - 수열 합답형 문제

ㄱ은 B로 묶고 교환법칙을 활용하면 바로 증명

(일반적으로는 앞뒤로 A를 곱해서 같다고 증명 가능)

ㄴ은 A(A+E) = - A를 활용하면 풀림

ㄷ은 (B-A-E)(B-(A+E)) 활용

22번 - Sn이 주어지면, An = Sn - Sn-1 활용

23번 - 3월 모평 8번 문제와 동일 (틀리면 절대로 안됨)

24번 - 유리화해서 풀면 됨 - 역시 원리는 분모의 최고차 항으로 나눌 것

(틀리면 절대 안되는 문제)

25번 - 지수식을 활용하는 기본문제

26번 - 3x = t 로 치환하고, 풀면 됨

27번 - 그림을 그려보거나, 몇 개를 해보면 결국 6의 약수를 구하는 문제임

고1과정에서 약수의 개수 구하는 식 활용하면 바로 풀림

(예 : 2*32 은 약수의 개수 (1+1)(2+1) = 6개,

일반적으로 2a 3b 5r 인 경우,

약수의 개수는 (a+1)(b+1)(r+1)이다.

28번 - y = 루트3 X 그래프에서 중심각이 60도라는 것을 알아야 한다.

(왜냐하면 tan60 = 루트3)

OPn의 길이가 n+2이므로, OQn은 (n+2)/2,

QnPn의 길이는 루트3/2 (n+2)이다.

넓이는 루트3/8 * (n+2)2 - nπ * 1/6 이므로

나머지는 식에 넣고 계산하면 된다.

29번은 그래프를 그려야 하는데, 주기함수를 그려서

             log 함수와의 교점을 찾으면

            A1은 3, A2는 15, A3는 35의 규칙성을 찾을 수 있다.

           결국, 4K제곱 - 1을 일반항으로 해서 합을 구하면 된다.

30번은 f(a) + g(b) = 9/4에서 g(b)는 가수이므로 1/4의 값을 갖는다. f(a) = 2

          g(1/a) = 1 - g(a)라는 성질을 이용해야 한다.

          숫자를 이용해서 설명하면, 예를들어, 3.7이 지표+가수라면 3+0.7이 되지만

          - (3.7)의 경우 지표와 가수로 나타내면 -4 + (1-0.7)로 나타나는 원리와 같다.

          결국 (나) 식을 활용하면 g(a) = 1-g(a) + 1/4 이므로, log a = 2+5/8 이다.

          같은방식으로 log b를 구하면 (a의 5승을 구하기 위해서는 5 log a 를 활용)

           log b = 25/4이므로 log a + log b = log ab = 71/8 이다.

3, 4월의 문제를 보았을 때 기본기에 충실한 문제만 전부 맞춰도

높은 2등급까지는 얼마든지 갈 수 있습니다. 따라서, 개념에 충실해야 합니다.

아래의 내용은 part2에 있던걸 다시 리로드 합니다. 

마지막으로 수학 오프라인 무료특강을 해보려고 합니다.

제가 칼럼으로 쓴 내용을 직접 설명해 드리고,

독학으로 공부해야 하는 방법들도 알려드리려고 합니다.

대략 2주에 1번 정도 하려고 생각하고 있고,

첫 무료수업은 4/27(일) 저녁 7시에 예정입니다.

장소는 미정인데, 서울지역 (아마도 목동쪽)에서 할 것 같습니다.

참여하실 분은 쪽지로 이름, 연락처, 수능등급이나 모의고사 등급 정도를

저에게 알려주시면 장소 정해지는데로 쪽지로 회신해드리고,

4/20일쯤에 문자 및 쪽지로 연락 드리겠습니다.

학생이 많으면 수업하기 힘들어서 10명 정도로 제한할 생각이며,

상업성을 목적으로 하는 강의가 아니므로

기타 여러 가지 질문들은 받지 않겠습니다.

(그날은 시간이 안되는데 수업 다른 요일에 하면 안되나요?

인강으로 찍어올려주시면 안되요? 등등)

P.S : 혹시 예약했다가 못오시게 되면, 못 온다는 문자 정도는 보내주시는

예의있는 학생들이라면, 수학 무료강의를 하는 보람이 있을거라 생각합니다.

대략 수업 계획은 다음과 같습니다. (시간은 저녁 7시 ~ 저녁 9시)

1회 : 4/27(일) - 행렬, 수열, 무한등비급수까지 개념정리

2회 : 미정 - 수능에 나오는 수업정리 고1과정 수학정리 - 도형의 방정식을 위주로

3회 : 미정 - 확률, 통계 특강

4회 : 미정 - 6월 모평 대비 특강 - 수능 빈출 주제 교과서 정리특강

(지수/로그,행렬,수열,극한,미분)

위의 특강은 수능 수학의 전범위를 다루는 것도 아니기 때문에,

그냥 관련단원이 약하다면 들어보시면 도움이 되실 것이고,

전부 무료 특강인 관계로 (아마 2주에 1번 정도 진행될 것입니다)

쪽지로 요청하신 분들에게만 개별 연락이 갈 것입니다.

(댓글로 신청하셔도 의미없습니다.)

사실 좋은 일하고도 욕먹을까봐 좀 두렵기는 하지만,

기본적인 상식 수준에서

서로 지켜야 할 것을 지킨다면

도움이 될 것이라 생각합니다.

이후 무료특강 진행되게 되면 공지토록 하겠습니다.

일단은 4/27(일) 저녁 7시에는 진행할겁니다.