수특에서 배울거리를 정리해보자 6일차



지수함수와 로그함수는 점대칭이든 선대칭이든 대칭성이 생명입니다!

★★지수, 로그함수는 대칭성!!★★

 



밑이 같은 지수함수, 로그함수가 나오면 무조건 대칭성을 떠올려야합니다.

심지어 (ㄱㄴㄷ 문제에서) 밑이 다른 지수함수와 로그함수가 주어진 경우에도 보조선처럼 밑이 같은, 대칭성을 지닌 함수를 그려주어야 문제가 풀리는 경우가 있습니다.

 



f(x)=log₂x, g(x)=-log₂(m-x)을 보자마자 두 함수가 (m/2, 0)에 대해 점대칭임을 알 수 있어야 합니다.

일단 기본적인 로그함수 y=log₂x, y=-log₂(-x)가 원점에 대해 대칭인데, 이를 평행이동하였으므로 어느 점에 대해 대칭이겠구나 생각할 줄 알아야하고, 그 점이 (m/2, 0)임을 찾는 방법 세 가지 살펴볼게요.

① f(x)+g(2a-x)=2b이면 두 함수는 (a, b)에 대해 대칭입니다.

이는 지수, 로그 함수가 아닌 일반적인 두 함수에 대해서 성립하는 성질입니다.

f(x)+g(m-x)=0이므로 두 지수함수가 (m/2, 0)에 대해 대칭입니다.

② y=log₂x, y=-log₂(-x)가 (0, 0)에 대해 대칭인데, y=-log₂(-x)만 x축 방향 +m 평행이동하므로 점대칭 기준점 (0, 0)도 같이 이동해서 (m/2, 0)에 대해 대칭이죠. 그래프는 +m만큼 평행이동했는데 대칭 기준점은 절반인 m/2 이동하는 지 물어볼수 있습니다. 그래프가 하나만 움직였기 때문입니다. 이를 수식으로 정확히 설명할 수도 있지만 직관적으로 설명해볼게요. 친구랑 손을 잡고 서 있다가 나 혼자 오른쪽으로 두 걸음 이동한다고 해봅시다. 그러면 손은 오른쪽으로 한 걸음 옮겨지겠죠? 대칭점도 마찬가지입니다.

③ 로그함수 y=log₂x, y=log₃x가 공통으로 지나는 점 (1, 0)을 "정점"이라고 부를게요. 진수 부분이 1이 될 때의 점을 말합니다. 그러면 f(x)=log₂x, g(x)=-log₂(m-x)에 대하여 f(x)의 정점은 (1, 0), g(x)의 정점은 (m-1, 0)입니다. f, g가 점대칭임은 이미 알고 있으므로 두 정점 (1, 0), (m-1, 0)도 그 점에 대해서 대칭이겠죠. 따라서 정점의 중점인 (m/2, 0)에 대해 대칭임을 알 수 있습니다. 지수함수나 로그함수일 때 사용할 수 있는 방법입니다.

 



두 점 P, Q가 C(m/2, 0)에 대해서 대칭이죠. 점대칭의 정의는 그 점을 중심으로 180도 회전한다는 겁니다. 그렇다면 점 C를 중심으로 P를 180도 돌려서 Q가 된다는 거니까, PQ가 원의 지름이 되고, PQ의 중점인 C(m/2, 0)가 원의 중심이 되겠죠. 중심 좌표가 (2, 0)이라고 했으니 m=4가 됩니다.

a값을 구해볼게요. 교점이므로 연립하면 진수끼리 같아야 하므로 x=1/(m-x)인데 m=4이므로 x²-4x+1=0의 두 근이 P, Q의 x좌표입니다. 따라서 근과 계수의 관계에 의해 a=1.

m+a=5입니다.

 

봐주셔서 감사하고요

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