230622를 풀어보자
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문제에 나온 식을 유리화해 봅시다.
이 식의 값이 존재하지 않는 t의 값이 -3과 6뿐이라고 하는데...
역으로 t=-3, t=6이 아니라면 위 식의 값이 존재한다는 의미입니다. 분모는 (x+3)^2이 곱해져 있으므로 분자도 (x+3)^2가 곱해진 꼴이어야 합니다. x<0에서 g(x)=(x+3)f(x)이므로 f(x)는 x+3을 인수로 가져야 합니다.
라고 하고, 만약에 g(t)가 0이 아니라면 위의 극한은 다음의 값을 갖습니다.
g(t)=0이라면...
g(x)는 차수가 3차이고, 루트를 씌우면 1.5차 정도일 것입니다. 분모는 2차이기 때문에 x->-3일 때 설령 g(x)=(x+3)^3이어도 해당 극한값이 존재하지 않게 됩니다.
따라서 g(t)=0을 때 극한값이 존재하지 않고, 문제의 조건에 의하여 g(-3)=0, g(6)=0입니다. 이 값들 이외에는 g(t)=0인 실수 t가 존재하지 않아야 합니다.
(-3을 3으로 잘못 썼네...)
k의 값은 일단 -3을 제외한 음수, 0은 허용되지 않습니다. 그러면 -3, 6 이외에 g(t)=0인 t가 생길 테니까요.
k가 양수인 경우, x>0에서 g(x)=(x+a)f(x-b)에서 x=-3+b, x=k+b에서 g(t)=0이 됩니다. b>3이라는 조건만 봐도 역시 허용될 수 없다는 걸 알 수 있습니다. 즉, k=-3입니다. f(x)는 이렇게 결정납니다.
그리고, g(6)=0이어야 하기 때문에
인데, a는 양수이기 때문에 f(6-b)=0이어야 합니다. 방정식 f(x)=0의 근은 x=-3뿐이므로 b=9입니다.
이제 a의 값만 구하면 됩니다. x=0에서 연속이라는 조건을 만족하면 됩니다.
x<0에서
x>=0에서
연속이 되기 위해서는 a=3/4여야 합니다. 즉, x>=0에서
이고, g(4)=19입니다.
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설명 진짜 깔끔하시다...
해설지 님이 직접 쓴 문제집 나오면 바로 살듯
그런가요? ㅎㅎ와미친.저이거1시간반만에풀었는데 이렇게간단했네요. 머리 한대 쥐어박고 시작~