150921(A)를 풀어보자
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우선 y=6x-6, y=2x^3-2의 위치 관계를 살펴보겠습니다.
둘을 빼면...
즉, 두 그래프는 x=1에서 접한다는 걸 알 수 있습니다. x=-2에서는 뚫고 지나가지만 조건 (나)에서 모든 양의 실수 x에 대하여 성립한다고 했으니 양수 범위에서만 봐도 됩니다.
함수 f(x)를 구해야 하는데, 최고차항의 계수가 1이라고 했을 뿐 차수는 알려주지 않았습니다.
일단 주어진 부등식을 만족시키기 위해서는 f(1)=0이어야 합니다. 그리고 직선 y=6x-6, 곡선 y=2x^3-2에 접해야 하기 때문에... 직선의 기울기이자 곡선 y=2x^3-2의 x=1에서의 미분계수인 6이 f'(1)의 값으로 나와야 합니다.
일단 f(x)가 1차는 될 수 없을 것입니다. 최고차항의 계수가 1이라고 했으니 기울기가 1이 나오지 6이 나올 순 없으니까요.
f(x)가 2차인 경우...
라고 할 때, f(0)=-3, f(1)=0, f'(1)=6을 동시에 만족시키는 함수 f(x)가 존재하지 않습니다.
그렇다면 3차라면 어떨까요?
f(0)=-3이라고 했으니 바로 대입하고, f(1)=0, f'(1)=6을 만족시키도록 a, b 값을 설정하면...
이 나옵니다.
따라서 f(3)=36입니다.
(참고)
다항함수의 최고차항의 계수가 양수인 경우 차수가 큰 함수가 차수가 작은 함수보다 무조건 커지게 됩니다. 즉, f(x)가 4차 이상이면 f(x)>2x^3-2인 양수 x가 무조건 존재하게 되므로 조건을 만족시키지 못하게 됩니다.
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