사걱세 9평 수학영역 클레임을 조져보자.

사걱세가 9평 수학영역에서 교육 과정 외인 부분이 15%라면서 내놓은 근거 자료를 보게 되었습니다.

비록 대학생에 불과한 신분이나, 전문가로 구성된 집단이 내놓은 분석에서 이렇게 수학 교육과정을 곡해하고 잘 낸 문제에 트집을 잡는다는 것에 통탄할 수밖에 없었습니다. 사걱세의 9평 수학영역 클레임, 조져보겠습니다.

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10번. 사걱세 주장: "접선공식은 교육과정에 없음"사걱세 보도자료 공통10번 상세 근거

<반박>

요약: 미분법의 나머지정리에의 활용은 교과서 연습문제에 있음.

신사고 수학2 교과서 70쪽 연습문제 15번.

위 문제와 같이 미분법을 나머지 정리와 연관짓는 것은 교과서에도 등장할 만큼 흔한 기법.

이 문제에서는, f(x) - 3이 x = 2에서 근을 가지므로 인수정리([공통수학] 1단원)에 의해 f(x) - 3 = (x-2)p(x)이라 적을 수 있고, f'(2) = 3이므로 양변을 미분하여 f'(x) = (x-2)p'(x) + p(x)이고 x = 2를 대입하여 p(2) = 0을 얻으므로 p(x) = (x-2)(x-a)로 쓰면 f(x) = (x-2)²(x-a)로 구할 수 있음. EBS에서는 이 과정이 익숙한 학생들을 대상으로 풀이를 작성하였으므로, EBS의 풀이를 기반으로 문제가 교육과정 외라고 판단할 수 없음.

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12번. 사걱세 주장: "자연수를 나머지로 분할하는 것은 대학 수학의 영역"

사걱세 보도자료 공통12번 상세 근거

<반박>

요약: 교과과정의 연습문제에서 학생들이 충분히 터득할 수 있는 기술임.

미래N(황선욱) 고등수학 교과서 200쪽 본문 예제1

미래N(황선욱) 고등수학 교과서 209쪽 발전문제 12번

첫 번째 문제와 같이, [고등수학] 4단원 {집합과 명제}에서 다루는 {대우명제를 이용한 증명} 중에서, "n²이 짝수이면 n도 짝수"라는 명제는 √(2)가 무리수임을 증명할 때 쓰이므로, 모든 교과서에서 등장하는 명제. 하지만 그 증명에서 n이 홀수이면 n = 2k + 1 (k는 음이 아닌 정수)로 나타내는 부분이 있으므로, 자연수를 2k의 형태(짝수)와 2k+1의 형태(홀수)로 나누고 있음을 알 수 있음.

심지어는 두 번째 문제와 같이, 아예 자연수를 3k, 3k+1, 3k+2의 형태로 나누어야만 풀 수 있는 문제도 있음. 명제의 대우를 이용하여 n이 3의 배수가 아니므로 n = 3k+1 또는 n = 3k+2로 적은 다음, n²이 3의 배수가 아니라는 것을 증명하는 것이므로 사걱세의 "자연수를 나머지로 분할하는 것은 고교과정 외"라는 주장은 신빙성이 낮음.

추가적으로, 전문가로 구성된 평가팀이 내놓은 논리에서, "대학 교재에 있다고 반드시 고교 외"라는 논리가 있는 점은 이해하기 어려움. 대학 미적분학 교재의 처음 부분에 나오는 내용 중 "어떤 수열의 급수가 수렴하면, 수열은 0으로 수렴한다"는 내용이 있는데, 이것도 고교 과정 외인지? 

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15번. 사걱세 주장: "분모·분자가 일차식이 아닌 유리함수는 교과 외"

사걱세 보도자료 공통15번 상세 근거

<반박>

요약: 공통수학의 평가조건을 수2에 똑같이 적용하는 것은 어폐가 많음.

신사고 수학2 교과서 21쪽 본문 예제 2번.

[수학2] 1단원 {함수의 극한}에서 x가 무한대로 향할 때 유리식과 무리식의 극한을 예제로 다룸. 이는 필수적인 예제로서, 이것이 교육과정 외라고 하기 어려움. 그러나 함수 표현만 없을 뿐 위 예제는 분모·분자가 이차식인 유리함수와, 근호 안쪽이 이차식이고 다항식이 더해진 무리함수의 극한을 다루는 것으로서, 사걱세의 주장에 의하면 이들 모두 교육과정 외임. 하지만 이는 사걱세가 무리하게 문제를 비판하려다 벌어진 논리적 참극으로, 애초에 [공통수학]의 평가 방법을 [수학2]에 적용한다는 것 자체가 어폐.

추가적으로, "복잡한 함수"의 범위를 너무 넓게 보는 것 아닌가 하는 우려가 듦. 주어진 함수는 사실상 f(x+3)과 {f(x)+1}의 곱을 f(x)로 나눈 것으로서, 함수 형태 자체는 전혀 복잡하지 않을 뿐더러, 함수의 그래프를 그릴 필요도, 함수 자체를 이해할 필요도 없음. 그저 f(x)를 적당히 특정하여 대입한 후 계산하는 전형적인 계산문제가 킬러 자리에 있다는 단 하나의 이유만으로 갖가지 이유를 들며 까내리는 것은 적절치 못함.

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21번. 사걱세 주장: "학습 요소에 없는 기호는 교육과정 외"

                + "해당 단원의 교육과정 성취기준 외의 풀이는 무조건 잘못됨"

사걱세 보도자료 공통21번 상세 근거

<반박>

요약: 수학 기호의 확장성에 대한 무지와 수학의 융합 가능성에 대한 모욕임.

학습 요소에 나열된 기호를 알파벳 그 자체로 인식하는 자세는 수학 기호의 확장성을 제대로 이해하지 못한 것. 예를 들어, 학습 요소에는 {a_n}으로 나와 있으니, 수열을 {b_n}으로 표현하거나, 무한등비급수의 도형 활용에서 넓이 수열을 {S_n}으로 표현하는 것도 교육과정 외인지? 이와 같은 논리라면 방정식에서 문자가 t인 것도, 함수를 h(x)로 나타내는 것도 모두 교육과정 외임. 수학 기호가 확장적인 것은 수학의 가장 중요한 특징 중 하나인데, 이를 무시하고 단지 기호가 다르다는 이유 하나만으로 교육과정을 벗어났다는 주장은 트집 잡기에 불과함.

또한, 해당 단원의 교육과정 성취기준은 "이외의 내용은 내지 말 것"과 같이 배타적인 내용이 아니라, "이 내용은 반드시 성취를 확인할 것"과 같이 필수적인 것만을 나열한 것임. 풀이 과정에서 부정방정식이 나왔다고 해서 "성취기준에 부합하지 않는다"고 주장하는 것은 수학의 융합 가능성과 창의적 사고력 증진의 기능을 정면으로 모욕하는 행위. 지수함수 문제에서 직사각형의 넓이를 구하는 내용이 나오면 "도형의 넓이를 구하는 것은 지수로그함수 단원의 성취기준과 관련이 없으므로 교육과정 외"라고 주장할 것인지?

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22번. 사걱세 주장: "부분적분을 이용하면 쉬우니 교육과정 외"

사걱세 보도자료 공통22번 상세 근거

<반박>

요약: 부분적분을 써서 푸는 것이 더 어려운 풀이임.

이 문제의 (나) 조건은, 수업 시간에 배운 공식을 역으로 적용할 수 있는지, 그리고 미적분의 기본정리를 이해하여 f(x)를 F(x)의 미분으로 생각할 수 있는지를 물어보는 것으로, 교과과정 내에서 배운 논리를 역이용하는 창의력을 갖추었는지 확인하는 것임. 또한, 사걱세의 주장과는 달리, 이 문제에서 부분적분을 쓸 사람은 없음. 애초에 부분적분을 쓰는 풀이가 더 생각하기 어려운데, f(x)G(x) + g(x)F(x)로 주어진 상황에서 f(x)G(x)를 따로 분리하여 부분적분을 한 후 F(x)G(x)에서 F(x)g(x)의 적분을 뺀 것으로 인식해야 하는데, 차라리 곱의 미분법을 역이용하는 풀이가 더 생각하기 쉬움.

22번 자리에 있는 문제답지 않게 쉬운 난이도를 보인 문제인데도, 어떻게든지 교육과정 외의 풀이를 지향하고 생각해내는 자세는 올바르지 않음.

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미적28번. 사걱세 주장: "절댓값함수 및 그 미분가능성은 교육과정 외"

사걱세 보도자료 미적28번 상세 근거

<반박>

요약: 미분가능성에 대한 이해가 있으면 충분히 알 수 있는 개념임.

아래와 같이 교과서에서도 절댓값이 포함된 함수의 그래프를 그릴 줄 알면 쉽게 풀리는 문제가 있음.

천재교육(류희찬) 수학2 교과서 105쪽 스스로 마무리하기 15번.

또한, |x|, |x² - 2x|가 x = 0에서 미분가능한지 등을 따지는 예제는 교과서에 필수적으로 수록되어 있으므로, 절댓값이 포함됨으로 인해 미분가능성을 따질 수 없다는 주장은 받아들이기 어려움. 문제를 풀다 보면, f(x)를 적분한 함수의 그래프를 그릴 수 있는데 x축의 위치를 정하면 특정 점에서 부호가 바뀐다는 것을 알 수 있음. 여기에서 미분계수가 0이 아니라면 절댓값함수의 좌미분계수와 우미분계수가 서로 다르므로 미분계수가 0일 것으로 추론하는 것이 정석적인 풀이 방법임.

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미적30번. 사걱세 주장: "개념이 섞여 있고 계산이 복잡함"

사걱세 보도자료 미적30번 상세 근거

<반박>

요약: 계산이 심각하게 복잡하지도 않고, 개념의 혼합은 오히려 지향해야 함.

융합형 인재를 지향하면서도 수학의 가장 큰 특징이자 수학 교육의 목표인 "개념의 융합"을 배격하는 모습은 모순적임. 이번 미적30번은 오히려 기출문제에서 드물었던 "음함수의 미분"과 "삼각함수의 도형활용"의 융합이라는 점에서 칭찬할 만한 것.

지학사 미적분 교과서 107쪽 중단원 학습점검 10번.

또한 삼각함수와 음함수의 미분법을 융합한 문제는 교과서에도 실려있고, 삼각함수의 미분법, 곱과 합성함수의 미분법, 음함수의 미분법을 아울러 학생의 [미적분] 과목에 대한 이해를 전반적으로 살피는 좋은 융합형 문제임.