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일단 자명해 (2,2,2,2)네요
이제 (X,Y,2,2)가 위 식을 만족한다고 합시다 그러면 (Y,X,2,2)가 위 식을 만족시킴은 자명합니다.
그러면 X^2+Y^2=4(XY-1) 입니다
이제 Y를 고정시키면
X는 t^2-4Yt+Y^2+4=0 의 한 해이기 때문에 비에타 정리에 의해서 X 말고 다른 한근은 4Y-X가 됩니다.
결국 (4Y-X,Y,2,2), (Y,4Y-X,2,2)도 위 식의 한 해가 됩니다. ... (1)
이제 수열 a_i에 대해 a_{n+2}=4a_{n+1}-a_{n} 라 합시다 (단, a_1 = 2, a_2 = 2)
그려면 모든 자연수 n에 대해 (1)에서
(a_{n},a_{n+1},2,2)는 문제에 주어진 식의 해가 됩니다.
위 점화식의 특성방정식은 t^2-4t+1=0 이고
t=2\pm\sqrt{3} 이 근입니다.
p=2+\sqrt{3}, q=2-\sqrt{3} 라 합시다.
그러면 점화식은 결국
a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_{n}) ... (2)
a_{n+2}-qa_{n+1}=p(a_{n+1}-qa_{n}) ... (3)
를 비에타 정리에서 만족시킵니다.
b_{n} := a_{n+1}-pa_{n}
c_{n} := a_{n+1}-qa_{n}
라 합시다
(2) <=> b_{n+1} = qb_{n} = q^{n} b_1
(3) <=> c_{n+1} = pc_{n} = p^{n} c_1
한편, a_{n+1}(q-p)=qb_{n}-pc_{n} = q^{n+1} b_1 - p^{n+1} c_1
=> a_{n+1} = (p^{n+1} c_1 - q^{n+1} b_1)/(p-q)
입니다.
이때 c_1 > 0 이고 \limit_{n -> \infty} a_{n+1} = \infty 이니 a_{n}은 충분히 큰 N에 대하여 n > N 일때 증가합니다.
따라서 a_{n}의 서로 다른 값들은 무한하며, 주어진 식의 해 또한 무한합니다.
수올 무상따리지만 의대논술 준비하며 배운것들로 이렇게 끄적여봅니다 ㅎㅎ
추가: c_1 > 0, b_1 < 0 이고 p > 1, 0 < q < 1때문에 양의 무한대로 발산한다고 해야 설명이 더 자연스러워지네요
오!
이거이 뭐시당까...
하.. 이런건 대학수학인데 중고등생보고 풀라고 하고 있으니....
중고등학교 교육과정으로 충분히 풀 수 있습니다. 2차 방정식에서 비에타 정리는 근과계수의 관계이기 때문에 대학별 고사에서도 충분히 낼려면 낼 수 있는 내용이긴 합니다 (물론 저런 스타일의 문제를 좋아하는 학교는 현재 없습니다)
하.. 어렸을땐 이런거 많이 했는데 나이드니깐 생각하려고 뇌에 ATP 부으니깐 뇌가 토하려고해 ㅠㅠ
ㅎㅎ재밌죠
비에타 점핑 오랜만에 보네요
의뱃이 이걸?수학과 갔으면 저런 거 해야하는구나
가형킬러보다 재밋는뎅..
저러한 문항들 몇 번 접하다 보면 재미를 느낄 수 있을 것 같긴 합니다 하지만 지금의 저로서는 ㅜㅜ
저분 나중에 필즈상까지 받으셨더라고요
imo 출전하는 사람들은 진짜 벽느껴짐
이거보다 가형 킬러가 훨씬 재밌는거보니 수학 잘나온다고 수학과갔으면 큰일날뻔했네ㅋㅋ
수학을 잘하는게 아니고 퍼즐을 잘하는거였노
ㄹㅇ 수능 수학 잼씀
수능도 재미없진 않아요ㅎㅎ이...이게뭐고..
참고)수학과 가도 저런거 안품, 못품. 그저 theorem/proof 컨셉 이해하는척 하면서 외울 뿐입니다
혹시 선배님이신가요,,
근데 저런 문제는 누가 출제하는거에요? 출제한 사람들은 풀이까지 다 알고있는거죠?
그쵸 근데 저렇게 풀진 않았던거죠 원래는
영과고 행님들 존경합니다
정보)저런 세계구급 천재들 사이에서 세계 10등안에 드는 학생들 우리나라 설곽 경곽에서 몇명씩 나온다
??? : 챗GPT야 이거 풀어줘