기울기의 극한vs미분계수 질문

다항함수여도 구간별로 정의된 함수라면 다를 수 있습니다

미분계수가 존재하지 않지만 기울기의 극한이 존재하는 함수 : 대표적으로, 불연속함수면 가능.
미분계수와 기울기의 극한 모두 존재하는데 둘이 다른 함수 : 매우 특수한 경우임. x^2sin(1/x) 같은 경우만 되고, 다항함수 조합해서는 만들기 어렵습니다.

미분가능하면서 ’도함수가 연속인‘ 모든 함수는 둘이 동일합니다.

위의 내용은 이해했습니다. 아래에서 '미분 가능하다'와 '도함수가 연속이다'가 같은 의미 아닌가요? 미분 가능하다는 것 자체가 좌미분계수=우미분계수니까요.

음 아니에요. 좌미분계수=우미분계수가 미분 가능의 (고교 수준에서의) 정의는 맞는데요, 그렇다고 도함수가 연속이라고 볼 순 없습니다.

x^2sin(1/x) 구글에 검색해 보세요!

도함수는 극한값을 함수로 정의한 것입니다. 극한을 바탕으로 정의했긴 했지만, 이 함수가 연속이어야 하는 이유는 특별히 없습니다.

생각보다 많이 어려워서 찾아봐도 직관적으로 이해되진 않지만 열심히 설명해주셔서 감사합니다.
혹시 위의 미분 가능하면서 도함수가 연속인 함수에 어떤 함수가 있는지 알려주실 수 있을까요?

대부분의 미분가능한 함수는 도함수가 연속이구요! 아마 도함수가 불연속인 케이스를 말씀하신 것 같네요.
예를 들어, f(x)를 다음과 같이 정의해보겠습니다.
f(x) = 0 (x=0)
f(x) = x^2sin(1/x) (x != 0)

그래프를 그려보면 사진과 같습니다.

”x=0에서의 미분계수“의 수식적, 기하적 의미는 그림과 같습니다.
(0,0)과 (h, f(h))를 지나는 직선의 기울기인데, h가 0에 가까워질수록 굉장히 작아져서 이 값은 0입니다.

도함수의 극한의 수식적, 기하적 의미는 그림과 같습니다.

제가 처음에 잘못 설명드렸네요.. 죄송합니다.
미분계수가 존재하지 않고 도함수(기울기)의 극한이 존재하는 함수 : 가능. 대표적으로 불연속 함수
미분계수는 존재하고 도함수(기울기)의 극한이 존재하지 않는 함수 : 가능. 다만 다항함수로 만드는건 어려움.
미분계수가 존재하고 도함수(기울기)의 극한이 존재하는 함수 : 이때는 둘이 같습니다. 즉, 일반적인 함수입니다.

즉 미분가능하면서 도함수의 극한이 존재한다면, 미분계수와 기울기의 극한은 같습니다.
아마 이게 다항함수 뿐 아닌 다른 함수에서도 적용되는지를 물어보신 것 같은데, 제가 처음에 이해를 잘못했습니다;
이 명제를 활용하면 미분계수와 도함수의 극한 중 쉬운 것을 계산하여 다른 것을 구할 수 있습니다.

(명제 증명은 그림 참고)

다만 기울기가 진동하여 도함수의 극한이 존재하지 않을 때도 있으므로, 모든 도함수가 연속은 아닙니다.

이해한 것을 정리하면
위의 사례에서 보았을때 0에서 미분계수는 0인데 반해 도함수 값은 수렴하지 않으므로 미분계수와 도함수 값은 엄밀히 보면 다른 개념임.
그래서 미분 가능하고, 동시에 도함수의 극한이 존재하는 경우에만 기울기의 극한과 미분계수가 같다고 볼 수 있음
이렇게가 맞나요? 너무 상세히 정리해주셨네요 감사합니다!

넵넵 맞아요! 그리고 문제 풀이적 관점에서 접근하면, 다음 정도로 정리하면 될 것 같아요.
1. 미분계수와 도함수 극한은 어느 한쪽만 구해도 되겠구나
(보통 복잡하게 정의된 함수에선 후자가 구하기 편해서 후자로 많이 구합니다.)
2. 대신 도함수 극한이 안 구해지면 미분계수의 정의로 계산해보자.