극좌표(polar coordinate)를 이용한 치환적분
게시글 주소: https://a.orbi.kr/00066457810
2차원에서 어떠한 점의 위치를 설명하려면
어떻게 해야할까요?
적당한 기준을 세운다면 우리는
점의 위치를 설명할 수 있을지 모릅니다.
대표적인 방법이 데카르트 좌표계, 바로
우리가 흔히 접하는 직교 좌표계입니다.
원점과 x축, y축을 설정함으로써 우리는
그림 상의 점 A, B와 같이 특정한 점의 위치를
깔끔하게 설명해낼 수 있습니다.
그런데 직교 좌표계 외에도 이렇게
기준을 잡아 평면 상의 점의 위치를 기술할 수 있는
대표적인 방법이 하나 더 있습니다.
바로 극 좌표계입니다.
원점을 O라 할 때 각 AOD의 크기를 alpha,
각 AOB의 크기를 beta라 한다면 우리는
방금 봤던 두 점 A, B의 좌표를 각각
다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
r은 원점으로부터 각 점까지의 거리를,
@는 시초선으로부터 동경까지 시계반대방향으로
잰 각의 크기를 뜻합니다.
이 r과 @값에 초점을 두고 다시 직교 좌표계에서
점을 나타내어 보면
이렇게 나타낼 수 있을 것임을
생각할 수 있습니다.
즉, 반지름의 길이가 r인 원 위의 점으로
주어진 점을 바라보고 일반각 하나를 잡아
직교 좌표계의 점을 생각해볼 수 있다는 것이죠!
극 좌표계를 이용하면 2변수 함수의 적분을
다음과 같이 작성할 수 있습니다.
이제 1변수 함수를 다룰 때의 치환적분법을 다음과 같이 생각해보고
아직 제가 서술하기엔 어려운
transformation from the uv-plane (polar coordinate)
to xy-plane (Cartesian coordinate) 와
the Jacobian of the given transformation 에 관한
이해를 갖추면
극 좌표계를 이용한 치환적분을
일반화할 수 있습니다!
이제 이를 이용해 확률과통계에서 학습하는
정규분포를 따르는 연속확률변수의 확률밀도함수를
적분해봅시다!
이를 표준정규분포 N(0, 1^2)을 따르도록 해주면
확률밀도함수 g(x)를 얻을 수 있습니다.
현 교육과정 상 확통에서 표준정규분포를 따르는 연속확률변수의
확률밀도함수에 관한 위 성질은 배우는데 증명을 하지 않아
앞서 다루었던 다변수 함수에서의 치환적분을
적용해 해결해보고자 한다면
영상 속 과정을 따라 I값을 구한 후
루트 pi로 나누어주시면 됩니다.
현재 2022 개정 교육과정 상 공통수학2에
선형대수학의 기초인 행렬이 들어왔으니
2028 개정 교육과정 즈음엔 극 좌표계와
복소 평면도 들어와 학생들께서
2차원 평면에 대한 보다 다각적인 이해와
나아가 치환적분의 느낌을 다변수 함수에도
적용해보실 수 있을 그러한 기회가 있었으면 좋겠습니다!!
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
애초에 수험판에 다시 들어오지 않았만큼 행복했다면?
-
모르는 단어로 오답 선지는 안 만든다는데 작년 수능 고전시가의 "겸양"의 뜻을...
-
답이뭐노
-
수학 한정 2컷판독기임 ㄹㅇ
-
닉값마렵네 4
ㄹㅇ.
-
1년 ㅈ빠지게 공부해서 서울대 다 뚫을 성적으로 의대와서 의대 현실보고 다시...
-
세계사 퀴즈 1000덕 19
오스트리아 헝가리 제국에서는 영토를 2가지로 구분했습니다. 라이타강의 안쪽에 있는...
-
노베이스인데 수능 만점 가능할까요
-
다들 이런건 극복 어캐하셨나용 대가리 한번 깨부수면서 비벼보는수밖에 없나..
-
더프 등급컷 2
그거 보정 안 된거죠? 안 된거라고 해주세요..아니 왜 저렇게 높지..?
-
찍맞없이 기하 80점인데 쉽다는 9모도 84고 10모도 80이고... 사설은 잘...
-
코로나 시절 누구없소부터 계속 봤는데 안 좋은 노래가 없네
-
1시부터 지금까지 공복인데 ㅠㅠ
-
맞팔구해요 8
-
귀납적 수열 풀 시간에 딴 단원 기출 더 볼까여... 다른 수열 기출들은 거의 다...
-
실수도 수3은 ㅈ으로 봄
-
국어 실모 95 받아놓고 수학 실모 76 받는.... 국어는 그래도 80점 중후반은...
-
물음표 던지깃 ~!!!!!!!
-
하는김에 현대시까지 21
이감 중요도 aa a중에 안나올거같은거(내가 수험생이었으면 과감히 버릴거) 어느날...
-
작수보다 어려운거 맞죠 ㅠ 컷이 어떠케 될까요
-
오답해떠! ㅎ 3
시발... 이렇ㅅ게 쉬운문제를 씨발!!!!!0
-
이거 6모급이네요.. 진짜 웬만해서 빈칸 자체를 안틀리는데 33/34 둘다 날려먹고...
-
미친 파이널 실모 계획 12
욕심은 많지만 능지가 부족한 자의 최후... 하루에 실모 8개씩 풀고 수능에피 드가자!!!
-
그거전데
-
앞으로 실모에서 미지수 깡으로 두개 잡는 도형문제 내면 10
회사 찾아가서 똥갈기고 옵니다 조심하십쇼 진짜
-
1. 수능 정시비율은 교육부 지침 없이 대학 재량으로 0퍼하고싶으면 0퍼...
-
오늘 푼 실모에서 실수를 적게 해서 감사합니다 탐구를 한과목만 반영하는 대학이 있어...
-
12 13 15 21 22 틀... 12번: 도형인데 아예 무슨 상황인지를 인지를...
-
실모 매일 보는 사람들 정체가 뭐지 답 없는 인생이네요 콘서타 용량 늘리기도 이제는 불가능하고
-
날먹ㄱㄱ
-
생명 ㅈ됨 1
한동안 실모만 하루에 하나씩 풀어서 그런가 개념 싹 까먹음 세균이 세포인가...
-
75분 16 34틀 94 다들 적당하니 뭐니하던데 나한텐 좀 빡셌음 내가 머스탱...
-
실수로 아이스크림하나랑컵라면이랑빵한개 먹어버렷네요 나도모르게 포장을 까고있었어
-
누군가의 곁에 든든한 사람이 되고 싶고 그것이 내 행복이기 때문에
-
Would you lose? Nah, I'd win You are my...
-
개맛도리 씨바거 고능아들이 1분안에 답해줌 ㄱㅅ해여님들 담부턴 허접한문제 안들고와야지 하
-
마지막이야
-
진짜 해도해도 안고쳐지네 수능때도 거꾸로 읽고 틀리면 어카지
-
되나여?
-
에메랄드 4 이하는 3등급임 다이아몬드 4는 달아야 1등급
-
6모 이후 강의 처음듣고 다 읽고 푸는거 연습해서 그해 수능때 표점101점 받음! (백분위 43)
-
시즌 3은 그래도 84 88도 나왔는데 1회부터 76 박아버리네... 그것도 찍맞...
-
아직 분류작업중이고 그냥 내가 수험생이고 시간없으면 이건 거른다 기준입니다 aa...
-
화작 2컷 확통 2컷 영어3 동사 4컷 사문 2컷이면 인하대 경제학과 안정일까요?
-
한국사퀴즈 6
-
공부 별로 안하는 친구한테 남은 기간동안 빡세게 공부하면 3등급은 뜨냐는 질문을...
-
걍 현대시,고전시가만 다 보고 고전,현대소설은 피지컬로 뚫을까 하는데 어떰
-
덕코이벤트/수학 실모 배포 ANNIHILATION(공통+미/기) 4
과하게 어렵습니다과하게 어려워서 n제화 하시는것도 추천드리고 실모로 푸신다면 못 푼...
-
공부같은거 안해도 우리 행복할거같네요 그렇다고 그냥 생각없이 놀면 절대로 안돼요...
엄청 신기해요
답글로 해당 게시글 링크 남겨드리려 했는데 벌써 확인해주셨네요!! 댓글로 설명하는 것보다 글 하나 남기는 것이 더 편할 것 같아 얼른 남겨봤습니다, 행복한 오후 보내세요~~
항상 도움되는 글 감사드려요 선생님
누구나 그럴테지만 수험생 분들께 무언가를 설명해드리거나 학습과 관련된 말을 건네드리고 도움이 되었다, 감사하다라는 말을 들을 때마다 참 행복하네요 ㅎㅎ 선생님께서도 꾸준히 수학에 관심 갖고 관련 글들 작성해주셔서 감사드립니다. 올해는 저도 기하를 열심히 공부해볼 계획이니 모르는 것 있으면 여쭤보겠습니다!
적분이 수렴하는지부터 따져야되지않나
안따져도됐었나 기억이안나네
엄밀히는 수렴 여부부터 확인하는 것이 맞긴 한데 가우스 적분의 경우 루트 pi로 수렴하는 것이 널리 알려져 있다 보니까 본문에서는 생략 했습니다, 형님 말씀대로입니다