복소수
게시글 주소: https://a.orbi.kr/00066530516
1, 2, 3, ... 이러한 수들은 자연수(Natural number)입니다.
1보다 1만큼 작은 수는 0입니다.
0보다 1만큼 작은 수는 -1이며
-1보다 1만큼 작은 수는 -2입니다.
이렇게 ... , -2, -1, 0, 1, 2, ... 와 같은 수들은
정수(Integer)입니다.
그리고 두 정수 p, q를 활용하여
꼴로 나타내어지는 수는 유리수(Rational number)입니다.
이때 6/3=2와 같이 약분 시 정수가 되면 그것은 정수,
5/3와 같이 약분이 되지 않으면 그것은 정수가 아닌 유리수로
분류하곤 합니다.
그리고 루트2와 같이 q/p 꼴로 표현할 수 없는 수는
무리수(Irrational number)입니다.
유리수와 무리수를 통틀어 실수(Real number)라고 부릅니다.
그리고 이 실수에 제곱해서 -1이 되는 허수 단위(Imaginary unit)를 곱해
얻는 수를 허수(Imaginary number)라고 부릅니다.
그리고 실수와 허수의 합으로 이루어진 수를
복소수(Complex number)라고 합니다.
일반적으로 이 이차방정식의 해는 존재하지 않습니다.
하지만 해가 존재한다 가정하고 그것을 i라 정합시다.
이것이 허수 단위의 정의입니다.
그럼 이와 같은 생각이 가능합니다.
그래서 i를 루트-1이라 하냐 -루트-1이라 하냐
이야기가 나올 수 있는데 어느 쪽으로 생각하든
i를 통한 연산에는 변화가 없습니다.
그래서 보통 i=루트-1로 편하게 생각합니다.
허수는 bi 꼴입니다.
복소수는 a+bi 꼴입니다.
이러한 복소수를 우리는 복소평면(Complex plane) 상에
나타낼 수 있습니다.
평소에 접하는 직교좌표계 (Cartesian coordinate) 에서
x축을 실수축, y축을 허수축이라 생각할 때
x좌표는 실수 부분 a를, y좌표는 허수 부분 b를 설정해
점 (3, 5)와 같이 나타내는 것입니다.
후에 수학1 (2022 개정 교육과정부터는 대수) 에서 삼각함수를 배우거나
미적분 (고등학교 교육과정 밖) 에서 극 좌표계 (Polar coordinate) 를
배우시면 익숙해지실테지만 우리는 평면 상의 어떠한 점을
기준점으로부터의 거리와, 기준점과 점을 이은 선분이 기준선으로부터
시계반대방향으로 얼마나 회전하였는지를 기준으로
나타낼 수도 있습니다.
이런 식으로요!
우선 여기까지만 알아봅시다.
어떤 복소수 z의 켤레복소수는 허수 부분의 부호만 반대로
해준 복소수입니다. 다항식의 연산 공부할 때
덧셈, 뺄셈은 동류항끼리 해주었듯이
복소수의 연산도 덧셈, 뺄셈은 실수 부분끼리, 허수 부분끼리 해줍니다.
다항식의 연산 공부할 때 곱셈은 분배 법칙에 따라 해주었듯이
복소수의 연산도 곱셈은 분배 법칙에 따라 해줍니다.
(복소수에서도 교환, 결합, 분배법칙 성립합니다.)
무리수 배울 때 유리화 배웠듯이
복소수 배울 때도 유리화 합니다.
분모에 i가 보이면 합차 공식 적당히 집어넣어
보이지 않도록 해줍시다!
그리고 이러한 연산을 배우는데
"루트 안에 음수 있으면 i 활용해 빼준다"만 기억하시면 됩니다.
마찬가지로 "루트 안에 음수 있으면 i로 빼준다"만 기억하시면 됩니다.
이제 문제 두 개 풀어보겠습니다.
쎈 고등 수학(상) 1판6쇄 II-03 C단계 355번 변형입니다.
z_1, z_2는 복소수입니다.
따라서 a+bi 꼴로 나타내어 봅시다.
조건이 여러 가지 주어졌을 때는 하나씩 접근합니다.
먼저 A 조건부터 살펴보겠습니다.
미지수가 여러개일 때는 줄이는 것이 편합니다.
복잡한 세상 속 편하게 산다 생각하시면 됩니다.
따라서 A 조건으로부터는 다음의 정보들을 얻었습니다.
이제 B 조건을 살펴봅시다.
합차 공식으로 계산해주니 b=1입니다.
이때 a^2+b^2=4이므로 a=루트3 or a=-루트3입니다.
따라서 A, B 조건으로부터 다음의 정보를 얻었습니다.
이제 C 조건을 살펴봅시다.
a가 양수이므로 a=루트3임을 알 수 있습니다.
따라서 A, B, C 조건을 모두 고려하면 다음을 얻습니다.
이제 답을 내어줍시다!
답은 -4루트3 i 입니다.
다음 문제로 넘어가보도록 하겠습니다.
같은 문제집 361번 변형입니다.
뭔가 비슷한 것들끼리 있거나 거대한 것이 있을 때에는
치환해주면 좋습니다. 다양한 문자가 있지만 저는
정도의 대문자 X를 좋아합니다.
실제로 2022학년도 6월 미적분 30번을 현장에서 풀 때
alpha와 beta에 대해 정리해야할 식이 일치하기에
X로 치환하여 해결했던 기억이 있습니다.
그럼 다시 문제로 돌아와서...
함수 C(x)=1/x를 살펴볼 때 1이 방정식 C(x)=1의 유일한 해이므로
식을 한 번 정리해냈습니다.
다시 치환을 통해
식을 한 번 정리해내어줍니다.
이제 마지막입니다.
찐막~
따라서 방정식 C(B(A(A(x))))=1 의 해는 x=(1-루트3 i)/2임을
확인할 수 있었습니다.
p.s.
아까 직교좌표, 극좌표, 복소평면 등에 대한 이야기를 했었는데
r을 복소수의 absolute value 혹은 modulus라고 합니다.
대충 이런 느낌!
그리고 @를 복소수의 argument라고 합니다.
대충 이런 느낌입니다.
그리고 실수 x에 대한 항등식 Euler's formula도 알아두시면 좋습니다.
이를 이용하여
복소수를 위와 같이 표현해볼 수도 있습니다.
p.s.2
자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수에서 더 나아가
사원수(Quaternion)를 정의할 수 있습니다.
이렇게 생겼습니다. 1, i, j, k는 4차원 벡터공간의 기저 벡터입니다.
이라는데 저도 잘 모르겠습니다. 4차원 얘기 나오는 것으로 보아
사원수가 우리가 공부하는 수학에서 등장하진 않을 것이고
순수 수학(Pure mathematics) 쪽에서 쓰일 것임을
짐작해볼 수 있습니다. 실제로 그러한 것으로 알고 있습니다.
왠지 외적에서 등장하는, 3차원 공간의 단위 벡터 i, j, k와도
연관이 있어 보이는데 이는 저도 잘 모르겠으니
더 공부해서 오겠습니다!!
2022 개정 교육과정으로 고1 수학에 행렬이 들어왔으니
2028 개정 교육과정 정도에는 외적, 공간벡터, 입실론-델타 논법,
다변수함수의 미적분 (편미분, 중적분) 도 기대할 수 있지 않을까요?
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
지금 던지면 평생 쳐다도 안 볼 거 같긴 한데 계속 끌고 가기엔 시간이 너무 뺏김..
-
혹시 교과 성적이 어느정도 되시나요..?
-
외대 논술 자유전공은 인문계인가요? 사회계인가요? 인문계는 영어 지문 나와서요…..
-
6평 94 9평 100 본격적인 공부는 8월 말쯤... 늦게 시작해서 이제 주요...
-
안녕하세요 고2 학생입니다 정시가 확실히 훨씬힘든거 인지하고 있고 수시가 쉬운것도...
-
아 시발
-
막전위 질문 2
막전위 mdgc 복습 중인데 혹시 이거 가까운 지점으로 자극 지점 추론 하는거보다...
-
이거 맞말같음 난 기출 통합수능 이후만 보고 바로 엔제 벅벅으로 2등급정도실력...
-
외대 자연대학 이거 하난데 도박원서 1개 외대말고...
-
경북사람이어도 의가 정배임?
-
Goat
-
본인 풀면 배터리 1-2개짜리 문제가 시간 더 오래 걸리는거 실화? 3개짜리 평균...
-
의대 교수들 "수험생 피해보다 의료 정상화가 중요…겨울이 최대 고비" 6
내년도 의대 증원 취소를 요구하며 단식농성을 벌였던 의대 교수들이 13일 "의정...
-
난이도 어떤 정도? 수능 공부만 봐서는 못 가겠지?
-
조예성쌤 들어보려하는데 ㄱㅊ??
-
국어 > [리트 전개년 기출 언어이해] 2009 20~22 > [리트 전개년 기출...
-
지치는 금요일 2
힘이 빠진다...지미씹것...
-
빨리 자랑하고가세요 명문대생이라 있었던 썰같은거 풀어주세여 막 과잠입고있는데 뒤에서...
-
MZ하게 그냥 인부들 데리고 벌초하면 ㅈㄴ 편할 거 같긴 하네
-
윤석열 대통령 지지율 20%...취임 후 최저 [한국갤럽] 1
윤석열 대통령 지지율이 취임 후 최저치인 20%를 기록했다. 한국갤럽이 13일...
-
여러분은 어느학교 어느과를 쓰고 싶나요?
-
남자들끼리 신촌 홍대 12
20대 초반 남자들끼리 신촌 홍대 놀러가는데 갈만한곳 추천 감사히 받겠습니다 ㅎㅎ
-
쉽지않은데..
-
시립대로 등기 보냈습니다.
-
선호도 조사
-
막전위 킬러로 나올려나 14
9모기준 유전보다 훨씬 어려운데
-
전국브릿지18회 4
13번까지 19분 14번까지 36분 20번까지 56분박고못품 21번까지 1시간 1분...
-
12번부터 어어..? 하는게 그냥 풀다가 눈물날라그럼
-
이게 어떻게 9월 1X일 ???? 육수가줄줄
-
갑자기 생각나네
-
강x 어려운디 1
킬캠보다 어려운데 서바강케쉬운회차급
-
‘탈원전’ 돌고 돌아 ‘신한울 3·4호기 건설’ 확정 1
[앵커] 원자력 발전소 신한울 3, 4호기의 건설이 확정됐습니다. 지난 정부 탈원전...
-
성대 경희대 중에 고민중인데 둘다 넣고 수능 점수따라서 둘중 하나만 치러 가는거...
-
정시로 홍대 가능한 성적이기는 하던데 그래도 쓰는 게 좋을 까요? 수능 전이라 괜히...
-
엄빠가 말씀하셨다 20
> 바..... 반수도 안된다니... ㅠㅠㅠㅠㅠㅠ
-
나의 인생 플랜 4
현 고3 영어랑 사탐 한 과목으로 수능최저 2합5 맞추기 대학 좀 다녀보다가 반수...
-
졸려죽을번 한 60분~65분정도쓴듯
-
안되겠지? 그래서 내가 과외하려는 입시 전형 관련해서 많이 자세하게 칼럼하나...
-
직전글 가천의vs한양공 먼저 읽어봐주시면 감사하겠습니다 1. 로또급확률...
-
다들 한양대 인터칼리지 최저 지원자중에 몇퍼센트 정도 맞출 수 있을 것...
-
놀랍게도 실화임... 민망한듯 헤실헤실 웃으면서 가져가시더라
-
대치 명인학원 0
대치 명인학원 수강예약은 했는데 결제는 어디서 해야 되나요??
-
연논 쉽지않네 0
그나마 서강대준비할때랑 결이좀 맞는면이있어서 적응은했는데 굉장히 거리감있음 지문끼리
-
엠지하네
-
68점 나와서 실력좀 올았나 했는데 컷보니 안변했음
-
재수생이고 더프랑 평가원기준 저점은 서성한낮공(두번) 고점은 인서울치대...
-
대찬학원인데. 안산살아서 추석인거 감안하면 왕복 네시간 나올거 같습니다. 다해서...
선샌님..어지러워요멋있어요
예비고1 과외 하게 되어서 수학(상) 복습 중에 있습니다,, 제곱근 연산 부분에 부호 오류 있어서 얼른 수정했네요! 시간이 늦었는데 좋은 밤 보내시기 바랍니다.
어우 샘 멋있어요 과외준비 아주 철저하시고 번창하십시오 ㅎㅎ