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수학적으로 잘못된 내용이 많네요
추가A. 설명) f'<0인 x가 있으면 이는 순증가함수를 포함하는 f'>=0에 속하지 못하므로 논외, f'=0인 x가 연속적으로 있음=평변이 0일 수 있다면 순증가함수가 아님. 즉 f'=0인 x가 순증가함수에서 존재한다면 서로 떨어지게 나와야 함.
이 부분부터 틀렸습니다.
왜죠?
아주 간단한 예시로, 도함수의 그래프가 0부터 pi까지 사인함수의 그래프 모양이 절반씩 줄어드는 형태를 떠올려보세요
2pi까지 무수히 많은 점에서 f'=0임에도 불구하고, f는순증가함수입니다.
f'이 0인 두 점 사이의 간격이 한없이 작습니다.
0.9에서, 0.99에서, 0.999에서, 0.9999에서 계속 y=x^3의 x=0처럼 움직이면, 그건 이산적인 수열로 f'=0이 생기는겁니다. 님이 주장한 잘못된 반례가 이거랑 같아요. 이게 f'=0인 x가 연속적으로 있는겁니까?
주기가 2pi라고 하면 f'(2pi)=0 이구요, 2pi 의 좌측에 f'=0 인 점은 무엇인가요? 간격을 잡을 수조차 없습니다.
이외에도 디리클레 함수와 유사하게 유리수와 무리수 등을 활용해 특이한 함수를 얼마든지 잡을 수 있어요. 말씀하신 것처럼 서로 떨어지게 나와야 하는것은 전혀 아닙니다.
디리클레 함수가 아니라 그와 유사한 함수라고 말씀드렸는데요? 간격이나 실수집합의 부분집합인 집합은 굉장히 특이한 것이 많구요 저렇게 떨어져 있다 정도는 수학적으로 실체가 매우 불분명한 표현으로 보시면 됩니다.
별개로, 내용을 제대로 안읽이보았었는데, 다시 읽어보니 2번 풀이가 전혀 부족한 풀이가 아니고, 링크한 글의 내용이 이상하다는 점은 동의합니다.
네 f'>=0 일 때, f가 순증가하기 위한 필요충분조건은 f'=0인 열린 구간이 존재하지 않는다. 라고 하면 완벽한 설명입니다
미분 가능한 순증가함수이면, 정의역 내에 어떤 열린구간이 존재해서 항상 f'=/=0이 된다고 주장하시는 것 맞나요? 증명을 해보세요. 본인도 증명 못하는 내용을 아득바득 주장하시는 것 같네요