[이동훈t] 22번 완전 분석 (241122)
게시글 주소: https://a.orbi.kr/00067004829
안녕하세요.
이동훈 기출문제집의
이동훈 입니다.
오늘은 2024 수능 수학 공통 22번을
물고, 뜯고, 맛보는 시간을
가져보겠습니다.
이미 분석 글을 올려드리긴 했습니다만. (아래 글)
[이동훈t] 수학 22번 구조 분석 (2024학년도) 수학2
이 문제에 대한 생각이 완전히 정리되었고 ...
더 새로운 생각이 떠오를 것 같지는 않아서
최종 버전으로 다시 올려드립니다.
물론 ...
이 글에서 제시하는 분석만이 옳다.
라고 말 할 수는 없겠습니다만.
아마도 출제 의도에 가장 근접한
해석 중의 하나 일 것입니다.
우선 문제 보실까요 ?
사이값 정리와 도함수(그래프 개형)이
결합된 문제인데요.
문제를 읽고 나서
위의 세 개의 조건이 머릿속에서
다음과 같이 정리되어야 합니다.
붉은 상자 - 함수 (삼차함수의 그래프 개형)
보라 상자 - 사이값 정리 (x절편 결정)
푸른 상자 - 3개의 구간 + 2개의 점 (y절편 결정)
특히 아래 그림과 같이
세 개의 구간과 두 개의 점으로
정의역을 분할 해야 합니다.
위의 그림을 설명하면 ...
f ' (-1/4) = -1/4
f ' (1/4) = 음수
가 주어졌을 때,
두 점 (-1/4, f(-1/4)), (1/4, f(1/4)) 을
좌표평면 위에 찍는다.
2 개의 경계 x=-1/4, 1/4 로 분할된
3 개의 영역 각각에서
함수 f(x)가 만족시키는 성질을
그림 또는 수식으로 표현한다.
여기까지가 ...
문제를 본격적으로 풀기 전에
해야 하는 밑 작업 입니다.
이 문제를 풀어본 분들은 아시겠지만 ...
푸른 상자를 위와 같이 처리하지 않으면
(=점 찍기와 구간 나누기)
f(0) = 0
을 유도하기 쉽지 않습니다.
이 풀이의 근거는 아래 문제에 있습니다.
미적분 문제인데요.
f(0) = 0, f(루트pi) > 0
에서 두 개의 점
(0, 0), (루트pi, f(루트pi))
를 좌표 평면 위에 찍어야 하고.
보기 ㄴ에서 점 (a, f(a))를 주었으므로 이를 찍고,
정의역을
[0, a), a, (a, 루트pi]
와 같이 두 개의 구간과 한 개의 점으로
구분해야 합니다.
아래의 그림은 2025 이동훈 기출 미적분 해설의 그림.
이처럼 사이값 정리 + 평균값 정리 문제는
주어진 점 찍고,
정의역 분할하고,
각 점과 구간에서 성립하는 성질을
그림과 수식으로 표현한다.
가 기본입니다.
이에 대해서는
2025 이동훈 기출 수학2, 미적분에서
자세하게 설명해두었습니다.
아래는 2025 이동훈 기출 수학2
평균값 정리 실전 개념의 예제와 참고.
위와 같이
사이값 정리, 평균값 정리에 대한 실전 개념을
정리한 수험생이라면 ...
그렇지 않은 분들보다
몇 단계 위에 있을 수 밖에 없습니다.
2등급 하단의 분들은
평가원 기출 1회독 하고 나서
실전 개념 한 번 정독하면
안정적인 1등급에 오를 가능성이 높습니다.
f ' (a) 가 주어졌을 때,
점 (a, f ' (a)) 를 찍는 문제는
찾아보면 상당히 많습니다.
아래의 문제가 대표적일 것이고요.
이 문제에 대한 자세한 설명은 아래 글에서.
[이동훈t] 수능 난문 만드는 법 (+221130, 231122) 수학2, 미적분
.
.
.
이제 교육 과정의 서술 체계의 관점에서
좀 더 자세하게 살펴보겠습니다.
집합은 함수의 선행 단원이고,
함수는 미분법의 선행 단원입니다.
즉,
집합(정의역의 분할, 포함관계, 연산, 등등) A
-> 함수(그래프) B
-> 미분법(사이값 정리, 미분가능성, 등등) C
수능에 출제되는 미적분 난문의 경우
C 가 어렵다기 보다는
A 에 대한 이해가 부족해서
잘 풀리지 않는 경우가 대부분입니다.
A 에 대한 예를 들어보면 ...
P in Q(=정의역)일 때,
P에서는 성립하지만
Q에서는 성립하지 않는 성질을 묻거나.
(또는 둘 다 성립하거나,
P는 성립하지 않고, Q는 성립하거나.)
점 (a, f(a))가 주어졌을 때,
(-inf, a) 합 a 합 (a, inf) = 정의역으로 구분하고,
두 구간 (-inf, a), (a, inf)과 점 a에서
모두 성립하는 성질을 묻거나.
(또는 일부에서만 성립하거나.)
... 등이 있습니다.
B 도 쉽지는 않지만
대부분의 수험생들이
어느 정도는 암기하기 때문에
이 부분이 아주 어려워 질 수는 없습니다.
수능 미적분 난문의 경우
미분법 단원을 그 자체를
어렵게 출제하는 것에는 한계가 있으므로
미분법의 선행 단원인
집합, 함수에서
어렵게 할 수 밖에 없습니다.
22번으로 다시 돌아가면 ...
정의역 분할의 관점에서
푸른 상자를 해석하면 ...
우선
f ' (-1/4) = -1/4
f ' (1/4) 는 음수
의 조건에서 두 점
(-1/4, f(-1/4)), (1/4, f(1/4))
을 좌표평면에 표시할 생각을 해야 합니다.
이때,
붉은 상자의 조건을 결합해보면
최고차항의 계수가 양수인 함수 f(x)는
구간 (-1/4, 1/4)에서 감소합니다.
두 점 (-1/4, f(-1/4)), (1/4, f(1/4))을 찍고 나면
자연스럽게 y절편을 결정해야 하고
(왜냐하면 f(x)는 연속이니까요.)
( 좀 더 자세히 설명하면
(-inf, -1/4), -1/4, (-1/4, 1/4), 1/4, (1/4, inf)
로 구분하고 ...
구간 (-1/4, 1/4)를 다시
(-1/4, 0), 0, (0, 1/4)
로 구분한다.)
이때,
f(0) > 0, f(0) = 0, f(0) < 0
의 세 경우로 나누어야 합니다.
(고1 과정: 실수 a가 주어지면
a>0, a=0, a<0
의 세 경우로 구분하여 생각한다.)
보라 상자에서 주어진 조건에 의하여
(귀류법을 적용하면)
f(0) = 0
임을 알 수 있습니다.
y절편을 결정하였으므로
이제 x절편을 결정하면 됩니다.
도함수 보다 절편을 먼저 생각하는 이유는
교과서에서 다음과 같이 설명하고 있기 때문입니다.
< 교과서 본문 설명 >
다항함수의 그래프의 개형을 그리려면
좌표축과의 교점,
함수의 증가와 감소,
극댓값과 극솟값
등을 알아야 한다.
순서를 보시면 ...
절편이 증감극대극소에 우선함을 알 수 있습니다.
예를 들어 이차 곡선을 그리는 방법을 배울 때,
지나는 점을 여러 개 찍고 나서
부드러운 곡선으로 연결합니다.
(즉, 점 -> 곡선)
이처럼 수능 난문의 경우
점을 먼저 찍고 나서 곡선으로 연결하는 것이
풀이의 시작이 되는 경우가 상당히 많습니다.
이제 x 절편을 결정합니다.
f(0)=0 을 찾고 나서
x=+-1, +-2, +-3, ... 에서의
f(x)의 부호 또는 값을 결정합니다.
이때, 사이값 정리를 이용합니다.
x절편, y절편을 모두 결정하였다면
함수 f(x)의 방정식을 세우고
f ' (-1/4) = -1/4
f ' (1/4) 는 음수
를 만족시키는 경우를 찾는다.
함수 f(x)의 방정식을 결정한 후에
f(8)의 값을 구한다. (끝)
요컨대 ...
함수 f(x)의 그래프의 개형을 그리는 순서는
절편을 찾는다 -> 도함수 -> 그림(수식)
이므로
x절편, y절편을 먼저 찍을 생각을 하지 않았다면
교과서와 (평가원) 기출을
완전히 무시한 풀이가 됩니다.
예를 들어
(미분가능성에 대한 문제를 풀던 관성으로)
f(x)의 그래프와 x축의 위치 관계로
먼저 접근한 분들이라면 ...
한 참을 헤맸을 가능성이 높지요.
이 문제가 참 잘 만든 것이 ...
교과서의 서술 체계
(집합 -> 함수 -> 미분법)
에 대한 이해가 부족하면
헤맬 수 밖에 없습니다.
뭐 ... 많이 들 헤매더라고 ..
.
.
.
이제 이해의 마지막 단계까지 가볼까요 ?
이 문제를
이산과 연속의 관점에서 해석해 보겠습니다.
보라 상자를 다시 쓰면 ...
모든 정수 k에 대하여
f(k-1)f(k+1) >= 0
인 최고차항이 1인 삼차함수 f(x)는 존재한다. (참)
모든 정수 k를 모든 실수 x로 바꾸면 ...
모든 실수 x에 대하여
f(x-1)f(x+1) >= 0
인 최고차항이 1인 삼차함수 f(x)는 존재한다. (거짓)
즉, 보라 상자에서 주어진 성질은
실수 범위에서는 성립하지 않지만
정수 범위에서는 성립합니다.
다시 말하면
연속적인 상황에서는 성립하지 않지만
이산적인 상황에서는 성립합니다.
이에 대한 문제는 작년 9월 공통에서
출제된 적이 있습니다.
보기 ㄷ은
t가 자연수일 때에는 성립하지만
t가 양의 실수이면 성립하지 않습니다.
이처럼 ...
수능에 출제되는 난문의 경우
이산과 연속에서 모두 성립하거나,
이산과 연속 중에서 한 쪽만 성립하는 경우를
종종 출제하고 있습니다.
이산과 연속은
고교 수학의 최종 목표 중의 하나이고,
거의 매해 출제되는 중요 개념 입니다.
뭐 ...
출제자들도
수학적으로 의미 없는 문제를
출제하고 싶지 않을 것이고 ...
이산과 연속에 관련된 명제를
찾기 위해서 혈안이 되었다고 봐야지 ...
배운 사람들은
배운 티를 내거든.
그게 출제자들의 약점이야.
.
.
.
정말 마지막으로 ...
22번은
어떻게 만들었을까 ?
다음의 두 가지 정도가 아닐까 싶은데요.
(1) 특수한 경우 -> 일반적인 경우로 확장
위의 교육청 기출 (나)에서
주어진 부등식은
몇 개의 정수 k에 대하여 성립하는데요.
이를 모든 정수 k에 대하여 로 바꾸었다.
고 생각해 볼 수 있습니다.
즉, 방정식 -> 항등식
으로 바꾸어서 문제를 만든 것이고.
이때, 필연적으로
사차함수에서 삼차함수로 바꾼 것이겠죠.
(2) 이산적인 상황에 삼차함수를 씌웠다 ?
수열 -> 삼차 함수로 즉, 이산 -> 연속으로
바꾸어서 문제를 만들었다.
뭐 .. 이런 가능성도 있어 보입니다.
.
.
.
안정적인 만점을 원하나요 ?
225 이동훈 기출 에서 제시하는
실전 개념과 함께하세요.
ㅎㅍ ~
[이동훈t] 학습법, 수학 칼럼 링크 모음 ('23~'24)
2025 이동훈 기출 사용법 (+실물사진)
[이동훈t] 2025 이동훈 기출 사용법 (+실물사진)
2025 이동훈 기출 실전 개념 목차
(참고로 2025 이동훈 기출은 수분감 + 뉴런 포지션 입니다.)
[이동훈t] 2025 이동훈 기출 실전 개념 목차
고1 평가원 기출문제집
[이동훈t] 2025 이동훈 기출 고1 수학 PDF 무료 배포
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
동생 공부 도와주다 갑자기 저 문제 어디서 봤던 기억이.. 시발점 미분 스텝투에요
-
자기만손해여
-
근데 진짜 5
내가 여르비였다면 어떨거같음? 좀 충격과 공포에 휩싸이나
-
과탐은 등급컷 높아진다고 징징징 사탐은 블랭크생긴다고 징징징인데 수능은 상대평가라...
-
수학 한 백분위 92정도만 맞고 나머지 올1로 고대 경영뚫는 가능세계 없나요
-
그만 오르비 끄고 자라 10
넵
-
키키
-
님들은 아이스크림 먹으면 이가 안 시려워? 양치할 때 찬물로 입 헹구면 좀 시리잖아...
-
반수해라 vs 하지마라 10
재수해서 건동홍 라인옴 반수해서 연고대 갈수 있으면 하고 안되면 그냥 학교다닐예정...
-
5. 23 언어이해 [1-3] 판사의 진솔 의무; 풀이 복기 2
0. 언어이해 1세트 풀이 복기 https://orbi.kr/00067557013...
-
덕코안주면 문다 5
하아아악
-
르세라핌 3
-
기립성 저혈압 0
앉았다가 기지개 펴면 어질어질
-
새로운 아침을 맞이하러 가봅시다 !
-
ㅈㄱㄴ
-
유빈 1
하 그동안 17000명 유빈방쓰고있었는데 160000명 유빈방이있었네..
-
나 한창 인증할때 16
거의 매일 했었는데 한동안 안하니까 모르는 사람들이 많구나
-
누가 죽었나요 3
조의금은 어디로 보내나요
-
나한테 꼬리 있는대로 다 치더니 있는 덕코 없는 덕코 다 주면서 만났더니 이젠...
-
얿서운 사실 2
보닌은 덕코를 현금거래 해봤다
-
월요일은 쉬느날 1
공부 쉬엄쉬엄해용
-
ㅈㄱㄴ
-
갑자기 생각이 나서 질문드립니다 원래 골고루 풀았는데 한 과목을 몰아치면 뭔가...
-
노력이 결실을 맺을거야
-
복싱배우란 사람들이 많던데 유도가 더 쌔보임
-
이시기에 아무리 인강을 들어도 실력이 안오르는것 같고 시간낭비 같은데, 그냥 인강...
-
저번에 합기도 관장님 썰 풀었는데 구라치고 자빠졌네 하실 분 있을까봐 미리 남겨둠...
-
정법 정떨어진다 14
병신한명때문에 기조가 개념변별로 바뀌니까 전처럼 공부하면 안되겠네 ㅅㅂ
-
한의대는 개인적으로 궁금해서 메디컬이랑 따로 넣어봤어요
-
흠.
-
김승리쌤 지금부터 현강 다녀도 되나요.. 여태까지 이도 국어 다녀서 1은 간당간당...
-
4규 공통 다 풀었고 다음 엔제(공통만) 풀려고 합니다 이중에 추천좀 부탁드려요...
-
음
-
2월달부터 쭉 재종 다니는 중인데 환경이 너무 적응되고 편해진건지 6모 끝나고부터...
-
듣게되네 씹ㅋㅋㅋㅋ 수능판 강사입에서 ㅋㅋ
-
비판을 하는 ○○들 때문이라고 생각해요..
-
하… ㄲㅊㄱㄹ님 덕코로 경제보복합니다 ㅅㄱ
-
n제 인강 1
n제 풀때 인강으로 같이듣는게 큰 차이가 있나요? 제가 패스가 없어서요..
-
나랑 사궈줘
-
수학 ㅇㅈ 4
-
제목 그대로입니다 일단 중위권 문과들은 쓸려나갈거같은데.. 상위권 문과들한테도 불이익이 클까요?
-
19) 현역 때 썰 19
본인 학교 선배들로부터 전해져 내려오는 이야기인데 저희 고등학교가 남고인데 그 옆의...
-
이원준 들으면 1
기출 커리는 없던데 기출 문제집 따로 사서 풀어야 되나요? 사실 중요한건 브크랑...
-
보통 익명 커뮤면 집단 수준을 막론하고 이상한 루머 퍼뜨리고 어떻게든 남 헐뜯고...
-
수완 특정 문항은 어려운거에요? 제시문 엄청 까다로운게 1강 8~12문항 중...
-
. 1
-
덕코가 뭐에요? 14
포인트에요?
-
국 78 수 69 동사 44 사문 38 보정 몇점 나올려나…
-
수특 수완 풀시간이 모자르다면 브릿지랑 기출 다풀고가는게 요즘 메타에는 맞을수...
선7ㅐ추 후감상
기출분석이 여러모로 중요한거 같아요...
수학도 국어처럼 기출로 리턴해봐야겠네요..
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/factbot/08.png)
국어 못지 않게 수학도 기출 분석이 중요합니다. 특히 안정적인 만점을 원하는 분들이라면 더더욱 그렇겠지요.올해 좋은 결과 얻으시길 기원합니다 ! :)
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/dangi_animated/009.gif)
넵 감사합니다