미분에 대하여
게시글 주소: https://a.orbi.kr/00068035680
오랜만에 공부 얘기 좀 써 보려고 합니다.
제목 그대로 미분에 대해서입니다. (제가 제목 짓는 센스가 없어서...ㅋㅋ;;)
“미분계수란 무엇인가요?”라고 물으면 아마 “접선의 기울기”라고 대답하겠죠?
맞는 말이긴 하지만, 제 경험에 비추어 보면, 여기서도 찝찝함이 조금 남습니다.
“왜 접선의 기울기를 궁금해하지? 애초에 미분은 왜 하는 걸까?” (궁금해하세요.)
이 물음에 대한 저의 답을 이야기하고자 합니다.
우리가 모르는 함수 
가 한 점 
를 지난다고 합시다.
이 정보만을 갖고 우리가 에 대해서 무엇을 더 알 수 있을까요?
우리가 정확히 알 수 없는 때로는 복잡하고 때로는 추상적인 이상한 함수라도 우리는 이 함수를 알아야만 한다고 합시다.
결국 우리는 이러한 함수를 우리가 “통제하고 다루기 쉬운 꼴”로 “근사”해야 하겠지요.
여기서 두 가지를 명확하게 해야 합니다.
1. 우리가 통제하고 다루기 쉬운 꼴은 무엇인가?
2. 어떠한 근사가 좋은 근사인가?
우리가 통제하고 다루기 쉬운 대표적인 꼴은 "선형", 일차함수가 될 것입니다.
즉, 우리는 미지의 함수 를 아주 좋은 일차함수로 선형근사하고자 합니다.
그렇다면 어떠한 직선이 좋은 근사가 될 수 있을까요?
함수 가 점 를 지난다는 조건에 의하여 기울기가 미지수인 직선을 생각해 봅시다.
그러면 원래 함수와 당연히 오차가 생기겠지요. 그 오차를
라고 합시다.
아래 그림을 보면, 점와 멀어질 수록 일반적으로 원래 함수와의 차이는 커질 수 있겠지요.
하지만 에 가까워질 수록 그 차이는 
의 값에 상관없이 항상 0에 수렴하게 됩니다.
그럼 여기서 가 어떠한 값을 가져야 차이가 0으로 가장 빠르게 줄어들 수 있을까요??
위의 두 번째 물음인 좋은 근사에 대한 답이 바로 다음과 같습니다.
좋은 근사 = 원래함수와 선형근사시킨 직선의 오차가 가장 빠르게 줄어들도록!
직관적으로, 오차가 줄어드는 속도가 가장 빠른 직선이 가장 좋은 선형근사라고 할 수 있겠습니다.
이제 우리는 오차가 가장 빠르게 줄어들도록 직선의 기울기를 결정해야 합니다.
이때 0으로 줄어드는 속도가 빠르다는 것은 극한의 언어를 빌려와서 설명할 수 있습니다.
똑같이 0을 극한값을 갖더라도 함수식이 갖는 인수의 개수가 더 많을수록 더 빠르게 0으로 수렴할 수 있겠지요? (조금 더 엄격하게, big O notation, little o notation을 통해 설명해야겠지만 넘어갑시다.)
0이 되는 인수를 하나 제거하더라도 여전히 0으로 줄어든다면 속도가 더 빠르다고 할 수 있겠습니다.
이것을 수식으로 옮겨 적으면 다음과 같겠네요.
우리가 찾은 기울기가 다음과 같게 됩니다!
우리는 위 극한값이 되는, 선형근사시킨 직선의 기울기를 "미분계수"라고 부르기로 약속한 것입니다.
그리고 이렇게 선형근사시키는 행위를 "미분"이라고 약속하며,
이런 최적의 선형근사가 가능하다면, 즉 위의 극한이 존재한다면 우리는 "미분 가능"하다고 부릅니다.
긴 글 읽어주셔서 감사하고, 여러모로 조금이나마 도움이 되셨길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
좋아요 0 답글 달기 신고 -
좋아요 1 답글 달기 신고
-
약값만 46억원…희소병 딸 살리러 국토대장정 나선 목사 아빠 1
[뉴스리뷰] [앵커] 근육이 점점 약해지는 희소병에 걸린 딸아이를 위해 국토대장정에...
-
CG가 풀려버린 버튜버 속옷만 입고방송했네 ㅋㅋㅋ...
-
화1은 인정하거든요 저희 학교 화학쌤도 1은 하지 말라하시고물1은 왜 그런걸까요...
-
졍체가뭐야
-
노래까지 개잘하네 ㅋㅋㅋㅋ 박효신 해줄 수 없는 일 부르는데 웬만한 가수급임 이렇게...
-
1.코딩이 존나 재밌는가? 2.물리 화학은 도저히 안되겠는가? 3.학벌대신 실력으로...
-
자신있습니다
-
머보지
-
수학 0
미적 1틀 96 표점 몇점 예상하시나요 ?
-
작년에 22344 받고 반수 한 사람인데 올해는 12423 받음...
-
일단 자자 1
주식하다가 건강만 배리고 패턴 망가지고 에휴 레포트? 안써 뻑큐
-
매드무비 보고 있는데 제3우스 개잘패서 마음에 든다 너 앞으로도 그렇게 패면 될것같다
-
빅뱅 탑 복귀좀 3
뱅뱅뱅 후렴 라이브로 불러줬으먼 진짜 질질싸는데
-
뭔 내용인지 이해가 안되 그리고 뭔 실험을 6개씩 쳐하는데 개화나네 진짜 걍 한번만...
-
애니 ㅊㅊ 좀 1
음지말고 리스트에는 나히아 도쿄구울 최애의아이 사이버펑크 헌터헌터 블루록 정도가 잇음
-
이번에 과외 쌤을 알아보고 추리고 추려서 고려대 간호학과 한분이랑 경희대 의대...
-
뭐? 메시?
-
오리한테 왜그랴
-
단 하나의 깃털도 남기지 말고
-
까마귀 울음소리 내고있어 여자한테 문워크를 보여줬어
-
-
20살 노벨물리학상수상(led x-효과) 21살 프리미어 리그 입단 fc바로셀로나...
-
미적 2컷 2
근데 이게 2안나오면 입시기관들 대가리 뽀개버려야 하는거 아니가... 공2 미3틀 80점임
-
재수도 해버려서 이제 내가 더 잘하려나.. 우울하네
-
이거 푸시는 분 진짜 실력자 인정... 오류 있다 싶으면 말해주세요:) 검토는...
-
님들아 고등학교 졸업자는 고등학교 재입학 불가능하죠?? 2
만약 고등학교 중퇴를 한다면 재입학 가능??
-
인증 메타가 지났네 에휴
-
CC면 설대는 힘들겠죠 15
내신 AA기준 거의 410인데 자퇴->검정루트라 CC라던데
-
두각 토욜 아침 9시이고 대기 268입니다.....
-
김성은쌤 0
어제 쌤 캐스트 보고 진짜 보는 내내 울었습니다
-
잘자 오뿌이들아 0
-
죽은 벌레 촉감 개싫음ㅠ
-
레포트 분량 7시간짜리라던데 어카냐
-
ㅇㅈ 5
Na K Si
-
공항·식당서도 老兵 예우했다, 영웅 제복이 만든 특별한 하루 1
“정말 훌륭하십니다(You’re very nice).” 지난 14일 오후...
-
성약 스나도 못하겠지… 입결이 그리 중요하더냐
-
서울 삶. 집 말고 외부활동하고싶음
-
아 폰 진짜 12
어제 샤워하다가 떨궈서 물들어가고 폰을 비누로 한번 씻기고..말렸는데 sim카드 없음 떴다 안떴다
-
선물 3
애플워치 se2 44mm 생각중인데 실버 스타라이트 미드나이트 고민임
-
내가 중딩때 공부를 좆도 안해서 특성화고를 떨어지고 뺑뺑이돌려서 동네 ㅈ반고를 갔음...
-
뻥임뇨
-
어제번따썰마저풀겟음 13
그니까 오늘은 모든 경우의 수를 고려(korea university)해서 편의점애서...
-
발열이 좀 심하다고 들었는데 어떤가요?
-
이날씨에뭔모기야 6
자려고누웠다가에프킬라장전중이다
-
한국대학 합격한곳 (수시) 서울과학고등학교 졸업 재학,졸업 총 내신:1.00...
-
ㅇㅈ 4
지금 나임ㄹㅇ
-
난 90분 겨우 다 썼는데 ㄹㅇ 이게 어케 쉬움. 붙는 사람은 ㄹㅇ 금머갈인가
-
죽고싶다 11
이세계전생하고싶다
-
가천대 논술 0
반도체썼는데 52735으로 최저맞췄습니다 미적 수학 81점입니다 기출풀어보면 국어는...
-
어릴때 외국에 오래 살아서 영어 공부 1도 안해도 하방 90점은 나오는데 이게...
