Strong convergence of Kleinian groups

Motivating question은 "언제 Kleinian group이 strongly convergent 할 것인가?" 이다. 오래된 conjecture는 만약에 accidental parabolic이 없으면 항상 strongly convergent 하다 였는데, 밑의 Theorem 1은 convex cocompact hyperbolic 3-manifold의 deformation space에서의 sequence에 대해서, accidental parabolic이 존재한다고 해도, 만약 "conformal pinching"이 일어난다면, 여전히 sequence는 strongly convergent 하다는 것을 보였다. incompressible boundary 케이스 에서는 이 조건은 또한 필요 조건이다.

Theorem 1 (Conformally peripheral pinching implies strong convergence). Let $\Gamma$ be a convex-cocompact Kleinian groups and $N = \Bbb H^3/\Gamma$. Let $X_i\in\mathcal{T}(\partial_\infty N)$ be the conformal boundaries associated to a sequence of quasi-conformal deformations of $\Gamma$ which converge algebrically to $\Gamma_A$. Then the convergence is strong if the hyperbolic lengths $l_{X_i}(\delta)$ tends to zero for every conformally peripheral $\delta\in\Gamma_A$.

Theorem 2. Let $\Gamma$ be a convex-cocompact freely indecomposable Kleinian group. Let $N = \Bbb H^3/\Gamma$ and let $X_i\in\mathcal{T}(\partial_\infty N)$ be the conformal boundaries associated to a sequence of quasi-conformal deformations of $\Gamma$ which converge strongly to $\Gamma_A$. Then the hyperbolic lengths $l_{X_i}(\delta)$ tends to zero for every conformally peripheral $\delta\in\Gamma_A$.

Necessity (Theorem 2)

Proposition 3. Let $\Gamma$ be a finitely generated torsion-free group which is freely indecomposable without rank 2 cusps. Let $\rho_0:\Gamma\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$ be a convex cocompact representation and $(\rho_i)$ be a sequence of algebraically convergent quasi-conformal deformation of $\rho_0$ and $\rho_i(\Gamma)\to\Gamma_G$ geometrically. Then $\Lambda(\rho_i(\Gamma))\to\Lambda(\Gamma_G)$ in a Hausdorff topology on $\hat{\Bbb C}$.

이러한 타입의 convergence를 통틀어서 Caratheodory convergence라고 한다. Kerckhoff 와 Thurston에 의해서, $\rho_i$에 associate 되어있는 convex core $C_i$들에 있어서 각각의 point에 injectivity radius에 uniform upper bound가 있다는 것을 보이면 충분하다는 것이 알려져 있다. 그래서 논문에는 이러한 uniform upper bound를 구하는 것만 써있다. Kerckhoff와 Thurston의 theorem과 증명은 다른 글에 기록해두기로 함.

근데 논문의 증명이 꽤 sloppy하게 써있는데, 제대로 증명이 된 것인지도 잘 모르겠음. 증명이 주장하는 바를 제대로 증명하는 것인지, 또 중간 중간 레퍼런스로 달아놓은 것을 찾아봐도 잘 나와있지 않는 등 잘 납득이 되지 않음. 그래서 증명은 그냥 안쓰기로 했음. (틀린거 같음) 다만 Proposition 3 자체는 아주 못믿을 것은 아닌 것이, 저거는 Kerckhoff, Thurston 논문에서는 Kleinian surface group 버전에서 증명한 것이 있다. 지금의 상황에서는 convex cocompact with incompressible boundary인 경우이기 때문에 충분히 납득 가능한 statement이다.

여담으로 저거 증명 써놓고 remark로 compressible boundary인 경우에는 다른 방법론을 써서 증명하겠다고 in preparation인 논문 하나를 레퍼 해놨는데 preprint조차 없는 것 보니 증명의 신뢰가 더더욱 안간다...

Proposition 3의 결론은, convex core $C_i$ 가 geometric limit $M_G$의 convex core로 geometric 하게 수렴한다는 것이다. 이걸 approximating bilipschitz map을 이용해서 쓰자면, 먼저 geometric convergence의 정의를 상기하자면, $\{r_i,k_i\}$ sequence가 있어서, $k_i$-bilipschitz map $h_i:Z_i = B_{r_i}(p_G)\subset M_G$가 존재해서 $i$가 무한으로 가면, $r_i$는 무한으로, $k_i$은 1로 수렴하게 되는 approximating map이 있었다. $Y_i\subset M_i$가 converge geometrically to $Y_G\subset M_G$ as a subsets of $M_i$ resp. $M_G$ 라고 하는 것은, 만약 어떤 sequences $\{\epsilon_i,r_i'\}$가 있어서, $\epsilon_i\to 0$, $r_i'<r_i$, $r_i'\to\infty$ as $i\to\infty$이고 다음과 같은 성질이 만족할 때이다:

(1) 만약 $Z_i'$가 $M_G$의 subset s.t. $B_{r'_i}(p_G)\subset Z_i'$라고 한다면, $h_i(Z'_i\cap Y_G)\subset B_{\epsilon_i}(Y_i)$가 되고;

(2) $h_i^{-1}(h_i(Z'_i\cap Y_G))\subset B_{\epsilon_i}(Y_G)$

인 경우를 말한다. 뭐 두 조건 다 $i$가 무한으로 가면, $h_i$에 의해서 $Y_i$가 $Y_G$로 점점 더 가까워진다는 것을 말하고 있다. $r_i'$는 그저 $h_i$가 잘 정의되기 위해서 써놓은 minor한 설정 같고, $\epsilon_i$는 점점 더 가까워진다는 것을 표현하기 위한 수단이다. (2) 조건 참 거시기 한데, (1)에 의해서 $h_i^{-1}(h_i(Z_i'\cap Y_G))\subset h_i^{-1}(B_{\epsilon_i}(Y_i))$가 된다. 그냥 polyhedral convergence가 더 직관적이긴 하다..

Corollary 1. Under the assumption of Proposition 3, the convex cores $C_i$ of $M_i = \Bbb H^3/\rho_i(\Gamma)$ converge geometrically to the convex core $C_G$ of $M_G = \Bbb H^3/\Gamma_G$ as subsets of $M_i$ resp. $M_G$.

이제 이걸 이용해서 Theorem 2를 보일 것이다. 즉, boundary incompressible한 manifold 케이스에서는 strong convergent 한 sequence는 conformal pinching이 항상 일어난다는 것으로, Theorem 1과 합치면, strong convergence if and only if conformal pinching 이라고 결론내릴 수 있다.

Corollary. Let $\Gamma$ be a convex cocompact Kleinian group which is freely indecomposable and $N = \Bbb H^3/\Gamma$. Let $X_i\in\mathcal{T}(\partial_\infty N)$ be the conformal boundaries associated to a sequence of quasi-conformal deformations of $\Gamma$ which converge algebraically to $\Gamma$. Then the convergence is strong if and only if the hyperbolic lengths $l_{X_i}(\delta)\to 0$ for every conformally peripheral $\delta\in\Gamma_A$.

Definition (Conformally peripheral). Let $\rho:\Gamma\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$ be a representation of Kleinian group. We say that an element $\delta\in\Gamma$ is conformally peripheral if the conjugacy class of $\rho(\delta)$ is represented by a peripheral simple closed curve on the conformal boundary of $M$, or equivalent, by a peripheral simple closed curve on the boundary of the convex core of $M$.

다시 말해서, 만약 $\mathcal{D}\subset\Gamma$를 $\delta(\gamma)$가 parabolic인, 다시 말해서, $N$의 cups에 해당되는 element들을 모아놓은 것이라고 하고, $\mathcal{D}_c$를 conformally peripheral 한 element들만 모아놓은 것이라고 했을 때, $\mathcal{D}_c\subset\mathcal{D}$이고, $\mathcal{D}_c$는 $N$의 cusp들 중에서, 적어도 하나의 geometrically finite end와 "adjacent"한 cusp들을 말하는 것이다. (convex core의 boundary에 represent가 되야하기 때문).

밑의 proposition 5에 의해서, 만약 $\rho:\Gamma\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$가 $\{\rho_i:\Gamma\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C\}$의 algebraic limit 이라고 했을 때, 만약 $delta\in\mathcal{D}$라고 한다면, 다시 말해서, $\rho(\delta)$가 $N = \Bbb H^3/\rho(\Gamma)$의 cups이라고 한다면, 모든 충분히 큰 $i$에 대해서, $\rho_i(\delta)$는 peripheral한 element가 된다, 다시 말해서 $\rho_i(\delta)$는 $M_i = \Bbb H^3/\rho_i(\Gamma)$의 compact core의 boundary에 represent가 된다는 것이다. $M_i$는 convex cocompact이기 때문에, 우리는 compact core를 convex core로 잡아도 된다. 따라서, $\rho_i(\delta)$가 $M_i$의 convex core의 boundary에 represent가 된다고 말할 수 있다. 따라서, 이러한 representative들은 딱 하나의 conformal boundary $X_i$에 represent가 되는데, representative자체는 unique하지 않기 때문에, $X_i$에서 homotopic하지는 않지만, $M_i$에서는 homotopic하게 돼서, 또 다른 representative가 있을 수 있다. 따라서, $l_{X_i}(\delta)$를 이러한 representative들 중에 가장 minimal length로 잡기로 한다. (그러면 일단 길이의 개념이 잘 정의 된다.)

이제 Conformally peripheral pinching한다는 것은,

$$l_{X_i}(\delta)\to 0\text{ for every conformally peripheral }\delta$$

라는 의미에 해당된다. 다시 말해서, sequence가 limit에 가까이 갈 수록, convex core boundary에서 representing하는 simple closed curve가 점점 pinching이 되면서 cusp으로 degenerate되는 경우를 말한다. 상당히 상식적으로 요구할 수 있는 조건에 해당된다. 왜냐면 애초에 conformally peripheral element 자체가 algebraic limit manifold의 cusp에 해당되는 것이었고, 이게 geometrical하게도 convergent 하려면, 정의에 따라 cusp으로 degenerate되는 accidental parabolic들이 geometrical하게 점점 cusp으로 degenerate 되어야 한다는 말이기 때문이다. (다시 말해서 convex core의 모양이 어떤식으로 바뀌는지 말하고 있기 때문이다.)

Proof of the necessity (Theorem 2). 가정은 주어진 sequence가 strongly convergent한다는 것이다. $h_i$를 approximating bilipschitz diffeomorphism이라고 하자. $\delta\in\Gamma$를 conformally peripheral한 element로, $\delta'$를 boundary of the convex core $C$ of $M$의 representative인데 길이가 $\epsilon>0$ 보다 작게 잡는다. 여기서 length는 $M$에서의 metric에 대한 것이다. (remind하자면 $\delta$는 $M$에서 cusp이다.) $\delta'$를 $C$의 complement에서 homotope을 해서 length가 $2\epsilon$보다 작은 $\delta''$로 만든다. Complement가 가능한 이유는 당연히 conformally peripheral하다는 가정에 의해서이다. 그러면, Corollary 1에 의해서, 모든 충분히 큰 $i$에 대해서, $h_i$는 bilischitz diffeomorphism onto its image이기 때문에, $h_i(\delta'')$는 $M_i$의 convex core $C_i$의 complement에 들어가 있으면서 길이가 $3\epsilon$보다 작은 curve가 된다. 그리고 $\partial C_i$로 project를 시켜서 길이가 더 짧은 curve로 만들 수 있다. (예를 들어 nearest point projection을 이용하면 된다) 그러면, lemma 7에 의해서, 만들어진 curve는 $\rho_i(\delta)$를 represent 하게 된다. 이제 Sullivan의 theorem에 의해서, incompressible boundary에 대해서, convex core의 boundary와 conformal boundary는 어떤 universal $k$가 있어서 $k$-bilipschitz equivalent하다는 것이 알려져 있다. (여기서 universal 하다는 것은, representation에 의존하지 않는다는 것이다.) 따라서, $\epsilon$은 arbitrary 했기 때문에, $l_{X_i}(\delta)\to 0$이 된다. $\square$

증명을 보면 geometric convergence가 사용된 시점은 정확히 convex core 의 모양의 변화를 기술할 때 쓰인다. 증명 자체에서는 $h_i$를 이용해서 기술한다. Convex core의 모양이 cusp으로 degenerate 되는 부분에서는 점점 cups의 형태를 따라가기 때문에, conformally peripheral 한 경우, convex core의 length와 conformal boundary의 length가 uniformly compatible하다는 Sullivan's theorem을 이용해서 결론낼 수 있다. 어디까지나 statement에서의 conformal pinching은 conformal boundary에서의 length를 말하고 있고, geometric convergence는 convex core의 모양을 말하고 있기 때문에 이 둘을 비교하는 단계가 필요한 것이다.

자연스러운 질문은, compressible boundary 케이스에서 어떻게 할 것인가? 인데, 증명의 핵심들 중에 하나는 Corollary 1 이었고, Corollary 1은 결국 strongly convergent한 sequence의 limit set 또한 converge한다는 내용이었고, 저 증명의 핵심은 convex core의 각 point에서의 injectivity radius의 uniform upper bound를 얻는 것에 있었다. 물론 Sullivan의 theorem도 있었고 꼭 필요한 스텝이었다.

Q. Is there a uniform upper bound on the injectivity radius of the convex cores of hyperbolic 3-manifolds?

증명을 보면 어찌보면 상당히 자명한 필요 조건에 해당 되었다. 당연히 놀라운 것은 이러한 peripheral pinching property가 strong convergence를 guarantee 한다는 것이다. 다음 section부터 이 충분 조건을 보이는 과정을 서술한다.

Lemma 7. Let $\rho_i:\Gamma\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$ be a sequence of discrete faithful representations converging algebraically to $\rho:\Gamma\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$ and geometrically $\rho_i(\Gamma)\to\Gamma_G$. Let $\pi: M = \Bbb H^3/\rho(\Gamma)\to\Bbb H^3/\Gamma_G$ be the covering and $\{h_i:Z_i\to M_i\}$ be a sequence of BiLipschitz appproximates of $M_G$. Suppose $K\subset M$ is a compact subset which contains the basepoint $p$ of $M$ and $\pi_1(K,p)$ injects into $\pi_1(M,p) = \rho(\Gamma)$. Then for large $i$, $(h_i\circ \pi)_* = \rho_i\circ\rho^{-1}$ on $\pi_1(K,p)$.

보통 Lemma 7은 $K$를 (relative) compact core인 경우를 사용해서, lemma의 가정을 항상 성립하게 만든다. 이 경우에는 $(h_i\circ \pi)_*$와 $\rho_i$가 $\pi_1(K)$ 레벨에서는 같다 라고 말하는 것. 혹은 더 심하게 말해서, $(h_i)_*$와 $\rho_i$는 $\pi_1(K)$에서 같다 라고 말하는 것이다. 여기서 보면 $h_i$는 geometric limit의 approximate에서 나온 것이고, $\rho_i$는 주어진 "algebraic" sequence에 불과하다. Lemma 7은 compact core / convex core 의 $\pi_1$ 레벨에서 geometric limit의 approximate과 algebraic limit의 approximate을 엮은 것으로 볼 수 있다. (놀랍다!)

Finding the appropriate cores of the algebraic limit

일반적으로는, sequence of representation $\rho_i$가 algebraically $\rho$, geometrically $\Gamma_G$로 convergent 한다고 해서, geometric limit $M_G = \Bbb H^3/\Gamma_G$으로 embedding이 되는 어떤 algebraic limit $M = \Bbb H^3/\rho(\Gamma)$의 core가 존재할 필요는 없고, 존재하지 않을 수도 있다! 따라서, geometric limit으로 embedding이 되는 algebraic limit의 core를 찾는 것이 우리에게는 중요한 문제가 되는 것이, 결국에는 strong convergence를 보이려면, covering $M\to M_G$가 homeomorphic하다는 것을 보이는 것인데, 이 경우에는 자명하게 algebraic limit의 core가 geometric limit의 core로 들어가기 때문이기도 하고, $M$을 core와 end로 분해를 시킨 다음에, 각각을 embedding을 시킴으로서 homeomorphism을 보이기 위해서이기도 하다.

만약 $M$에 cusp이 있다면, 그 cusp은 당연히 $M_G$의 cusp으로 mapping이 된다. Rank 2 cusp은 당연히 rank 2 cusp으로 가지만, rank 1 cusp의 경우에는 rank 1 cusp으로 가거나, 혹은 rank 2 cusp으로 갈 수도 있다. 후자의 경우에는 원래 $M$에는 없던 parabolic element가 하나 더 있어서, 원래 있던 parabolic element와 같이 rank 2 cusp을 형성하는 경우로, 어떤 센스에서는 accidental parabolic이 하나 생기는 경우다. 정확히 이 경우를 우리가 제외하면, geometric limit으로 embedding이 되는 algebraic limit의 core를 찾을 수 있다. 이러한 조건이 합리적인 이유는, rank 1 cusp이 rank 2 cusp의 covering으로 등장하게 된다면, 애초에 cusp의 입장에서도 embedding이 안되는 상황이기 때문에, rank 1 cusp과 "adjacent"한 end들이 geometric limit에서는 뭉개지는 현상이 일어날 수 있기 때문이다. rank 1 cusp이 rank 1 cusp으로 간다는 가정을 하면, rank 1 cusp들은 정확히 embedding이 되고, rank 1 cusp들과 "adjacent"한 geometrically infinite end들이 algebraic-geometric limit manifold 관계에서는 injective하게 들어간다는 성질과 geometrically finite end들 또한 비슷한 성질이 있다는 것을 이용하면 (Proposition 6) 궁극적으로 core embedding이 된다.

Proposition 4. Let $\rho_i:\Gamma\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$ be a sequence of discrete faithful representations which converges algebraically to a tame representation $\rho:\Gamma\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$ and $\rho_i(\Gamma)\to\Gamma_G$ geometrically. If no maximal parabolic subgroup of $\rho(\Gamma)$ of rank 1 is contained in a parabolic subgroup of $\Gamma_G$ of rank 2, then there is a core $K$ of $M$ such that

(1) $\pi|_K$ is injective;

(2) $K$ contains a neighborhood of every geometrically infinite end of $M$;

(3) $K$ is contained in the interior of the convex core of $M$ if $\rho$ is not Fuchsian; and

(4) if $Q$ is a cusp of $M$, then $Q\cap K\neq\emptyset$ and $\partial K\cap Q$ has 0, 1 or 2 components, each of which is totally geodesic in $M$.

Statement에서 가장 중요한 포인트는 (1)인 injectivity 파트로, algebraic limit의 core $K$가 geometric limit $M_G$로 embedding이 된다는 것이다! 나머지 (2) - (4)는 (1)에 비해서는 extra로 당연히 요구할 수 있는 성질이다.

Rmk. 1. maximal parabolic subgroup of $\rho(\Gamma)$ of rank 1이 $\Gamma_G$의 rank 2 subgroup에 포함되지 않는 것을 체크하기 위해서는, 이 $\Gamma_G$의 rank 2 subgroup들 중에 (up to conjugacy로) geometrically infinite end의 fundamental group의 subgroup으로 들어가지 않는다는 것만 체크하면 충분하다. 이유는 Canary의 covering lemma의 consequence에 의한 것으로, $\pi$을 geometrically infinite end에 restrict 시켰을 때 injective하다는 사실 때문. (이거 자체로도 상당히 흥미로운 사실이어서 따로 증명을 다른 포스트에서 할 예정이다. Geometrically infinite end의 covering에 대해서 이야기하는 covering lemma이지만, injectivity를 바로 이야기 해주진 않는다.)

2. 만약 $\rho(\Gamma)$의 domain of discontinuity가 공집합이라면, 또한 Covering lemma의 consequence중 하나가, 이 경우에는 convergence가 strong하다는 것이 알려져 있다. 이 경우에는 $K$를 $M$으로 잡으면 된다. Strong convergence를 찾는 것이 이 논문의 핵심으로 상당수의 경우에 domain of discontinuity가 nonempty일 때를 가정하고 증명한다.

3. 만약 $\rho$가 Fuchsian이라고 하면, convex core는 2차원으로 degenerate되기 때문에, $K$는 convex core의 $\epsilon$-neighborhood라고 생각하면 된다.

   Proposition 4의 상황에서, core $K$를 cusp과 geometrically infinite end를 바라보는 surface들을 따라서 적절히 쳐내면, $M_G$에 embedding하는 relative compact core를 얻는다.

Corollary 2. Under the assumptions of Proposition 4, the following holds. For every $\epsilon>0$ less than the Margulis constant, there is a relative compact core $(K(\epsilon),P(\epsilon))$ of $M^{\geq\epsilon}$ such that

(1) $\pi|_{K(\epsilon)}$ is injective;

(2) $\pi$ is injective on each component of $M^{\geq\epsilon}-K(\epsilon)$ which represents a geometrically infinite end;

(3) $K(\epsilon)$ is contained in the interior of the convex core of $M$ if $\rho$ is not Fuchsian; and

(4) if $\epsilon'<\epsilon$, then $K(\epsilon)\subset K(\epsilon')$ and the boundary of every component of $K(\epsilon') - K(\epsilon)$ is the union of a component of $P(\epsilon)$, a component of $P(\epsilon')$ and two totally geodesic annuli.

Rmk. (2)에서 injective로 바뀐 것은, 앞서 말했듯이 covering theorem의 consequence에 의한 것. 앞서 말했지만 중요한 포인트는, algebraic limit의 rank 1 cusp이 geometric limit의 rank 2 cusp을 cover하지 않는다고 하면, algebraic limit에 적절한 relative compact core가 존재해서, geometric limit에 embedding이 되는 장면을 연출 할 수 있음.

   가정에 의해서 sequence $M_i = \Bbb H^3/\rho_i(\Gamma)$가 $M_G = \Bbb H^3/\Gamma_G$의 geometrically convergent한 sequence이기 때문에, 정의에 의해서, 어떤 sequence of biLipschitz diffeomorphism $\{h_i:Z_i\to M_i\}$ 이 존재함. 여기서 $Z_i$는 $M_G$의 smoothly embedded submanifold. Lemma 7에 의해서, 큰 $i$에 대해서, $(h_i\circ \pi)_* = \rho_i\circ\rho^{-1}$ on $\pi_1(K(\epsilon))$이 됨. $\rho(\Gamma) = \pi_1(M) = \pi_1(K(\epsilon))$이기 때문에, $K_i(\epsilon):= h_i\circ \pi (K(\epsilon))$는 $M_i$의 compact core가 됨. 따라서, 만약 $\rho(\gamma)$ for $\gamma\in\Gamma$가 parabolic이라고 한다면, $\rho_i(\gamma)\in\rho_i(\Gamma)\simeq\pi_1(M_i)$는 $K_i(\epsilon)$의 boundary에 closed curve로 represent가 됨. 다시 말해서, $M_i$에서 peripheral element로 represent가 된다는 뜻으로, 여기서 어떤 $\pi_1$의 element $\gamma$가 peripheral하다는 것은, boundary of compact core의 closed curve로 represent가 되는 경우를 뜻함. 참고로 compact core는 up to homeomorphism으로 unique하기 때문에, 정의는 compact core의 choice에 의존하지 않는다. 이 사실을 좀 더 formal하게 쓰자면 다음과 같다:

Corollary. Under the assumption of Proposition 4, in particular, no rank 1 cups of the algebraic limit covers the rank 2 cusp of the geometric limit, then if $\rho(\gamma)$ is parabolic for some $\gamma\in\Gamma$, then $\rho_i(\gamma)$ is peripheral for some large $i$.

여기서 주목해야할 것은, 우리는 Proposition 4의 가정을 썼다는 것이다. 일반적으로는 어떤 element가 peripheral하다는 것은 algebraic topology에서 보존 되지 않는다. 다시 말해서, $\rho_i(\gamma)$가 peripheral하다고, $\rho(\gamma)$가 peripheral할 필요는 없다. 물론 위의 corollary는 이게 된다고 주장하는 것은 아니다. 사실 위의 결론은 Proposition 4의 가정 없이도 일반적으로 성립한다. 하지만 cups에 대한 가정이 빠지면서, 더 이상 Proposition 4를 사용할 수 없음, 다시 말해서 위의 Corollary처럼 compact core를 그냥 잡을 수 없기 때문에, 좀 다른 방법을 사용하게 되고 좀 더 복잡함.

Proposition 5. Let $\rho_i:\Gamma\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$ be a sequence of discrete faithful representations which converges algebraically to a tame representation $\rho:\Gamma\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$. If $\rho(\gamma)$ is parabolic for some $\gamma\in\Gamma$, then $\rho_i(\gamma)$ is peripheral for large $i$.

   Proposition 4와 5의 증명은 기본적으로 비슷한 세팅에서 시작을 함. 기본적으로 사용할 재료는 밑에 써놓을 Proposition 6과 Lemma 8로, 아이디어는 $M$ 자체의 compact core를 $M_G$에 embedding을 시키지 못하기 때문에, Proposition 4를 만족할 만한 작은 조각들로 $M$을 조각을 낸 다음에, 각각을 $M_G$에 embedding을 시키고, 각각의 piece들을 다시 잘 붙여서 하나의 compact core로 바꾸는 것. 먼저 Proposition 6, Lemma 8을 state하기로 함. 그전에 statement에 등장할 용어들을 먼저 설명하기로 함.

Definition. 1. A web group is a finitely generated Kleinian group whose domain of discontinuity contains at least 3 components (so infinitely many) and such that the stabilizer of each component subgroup is quasi-Fuchsian. In particular, the boundary of each component is a Jordan curve. 

2. A generalized we group is a finitely generated Kleinian group with nonempty domain of discontinuity such that each component is a Jordan domain.

3. A generalized web subgroup $G'$ of a Kleinian group $G$ is precisely embedded if the stabilizer of $\Lambda(G')$ in $G$ is $G'$ and if for every element $\gamma\in G$, there is a component of $\Omega(G')$ whose closure contains $\gamma(\Lambda(G'))$.

4. A system $(G_1,\ldots,G_k)$ of generalized web subgroups of $G$ is precisely embedded if each $G_j$ is precisely embedded and if for every $\gamma\in G$ and $j\neq k$, there is a component of $\Omega(G_j)$ whose closure contains $\gamma(\Lambda(G_k))$.

5. If $(R,P)$ is a relative compact core of a hyperbolic manifold $\Bbb H^3/G'$ and $G'$ is a subgroup of a larger Kleinian groups $G$ such that $R$ embeds into $\Bbb H^3/G$ under the associated covering map $\pi$, we call the image $\pi(R)$ a relative compact carrier of $G'$.

5의 정의에서 중요한 것은 $R$이 $\Bbb H^3/G$에 embedding이 된다는 것. 이렇게 되면, $\pi(R)$은 $\Bbb H^3/G$의 full relative compact core가 되지는 못하지만, 그것의 일부분이 될 수 있다는 것. 우리의 목표는 relative compact carrier들을 잘 골라서 geometric limit에 embedding을 시킨 다음에 잘 이어 붙이는 것.

Lemma 8. Let $G$ be a finitely generated, torsion-free Kleinian group whose domain of discontinuity is non-empty and whose limit set $\Lambda(G)$ is connected. Let $(R,P)$ be a relative compact core of $N = \Bbb H^3/G$. If there is no essential annulus in $R$ with one boundary component in an incompressible component of $\partial R-P$ and the other in $P$, then $G$ is either a generalized web group or a degenerate group without accidental parabolics.

위의 Lemma 8의 가정은 이후 $M$을 조각내는 기준이 되는 보조정리로, 각 조각들의 $\pi_1$이 generalized web group이나 degenerated group without accidental parabolic이라는 것을 보장해준다. 이것이 뒤의 Proposition 7을 적용하기 위한 setup 이라고 볼 수 있다. 참고로 "essential annulus in $R$ with one boundary component in an incompressible component of $\partial R-P$ and the other in $P$" 이라는 것은, 하나의 end에 해당되는 surface에서 rank 1 cusp으로 인해 하나의 "neck"이 pinched되어 있는 상황을 생각하면 된다. 그림으로는 다음과 같다.

Proposition 6. If $G'$ is a precisely embedded generalized web subgroup of a Kleinian group $G$, then there is a core $K$ of $\Bbb H^3/G'$ which embeds into $\Bbb H^3/G$ under the covering $\Bbb H^3/G'\to\Bbb H^3/G$ and which satisfies properties (1) - (4) from proposition 4.

If $(G_1,\ldots,G_k)$ is a precisely embedded system of generalized web subgroup of $G$, then there are cores $K_1,\ldots,K_k$ of $\Bbb H^3/G_1,\ldots,\Bbb H^3/G_k$ as above such that the images in $\Bbb H^3/G$ are pairwise disjoint.

궁극적으로 사용될 proposition으로 $G_i$들은 위에서 조각낸 component들의 $\pi_1$들이고 $G$는 $\rho(\Gamma)$가 될 것이다. Proposition 6의 가정을 만족하기 위해서 밑의 Proposition 7을 사용한다.

Proposition 7. Let $\{G_1,\ldots,G_k\}$ be a collection of generalized web subgroups of a Kleinian group $G$. Suppose there exists a disjoint collection $\{R_1,\ldots,R_k\}$ of submanifolds of $N = \Bbb H^3/G$ such that for all $j$, $R_j$ is a relative compact carrier of $G_j$, and if $R_j$ is an $I$-bundle, then no component of the closure of the complement of $R_j$ in the non-cuspidal part of $N$ is a compact twisted $I$-bundle whose associated $\partial I$-bundle lies in $\partial R_j$. Then $\{G_1,\ldots,G_k\}$ is a precisely embedded system of generalized web subgroups of $G$.

Proposition 7에서의 topological restriction은 상당히 복잡하다. 하지만 우리가 밑에서 만들 $R_j$에 해당되는 topological한 상황은 아니다.

Setup for the proofs of Proposition 4 & 5.

   다시 리마인드 하자면, $M$은 $\rho_i$의 algebraic limit이고, $M_G$은 geometric limit이다. 먼저, $\Lambda(\rho(\Gamma))$가 connected라고 하자. $(R_0,P_0)$를 $M$의 relative compact core라고 하자. 이제 $M$을 Lemma 8의 가정을 만족시키 위해 조각을 내는데, $\mathcal{A} = \{A_1,\ldots,A_k\}$를 maximal collection of disjoint, nonparallel, essential annuli in $R_0$ such that for each $i$, one boundary component lies in $P_0$ and the other lies in an incompressible component of $\partial R_0 - P_0$라고 하자. 이제 저 annuli들을 기준으로 "compressing" 한 component들을 $\{R_1,\ldots,R_n\}$라고 하자. 다시 말해서 $R_0 - \bigcup\mathcal{U}(A_i)$ 들의 component들을 말하는 것으로 여기서 $\mathcal{U}(A_i)$는 $A_i$의 small regular neighborhood를 말한다. 위의 그림을 마음에 담아두고 보면, 결국에는 하나의 뿌리에서 rank 1 cusp들로 인해서 여러개로 나눠지는 end들 각각을 구분해서 잘라내는 역할을 한다. 이제 $G_j = \pi_1(R_j)$, $P_j = R_j\cap P_0$라고 하자. 그러면, Bass-Serre tree 용어를 쓰자면, $\rho(\Gamma)$를 vertex들을 $G_j$, edge들을 cyclic parabolic subgroup들로 갖는 graph of groups들로 나타나게 된다.

이제 Lemma 8을 적용해서 $G_j$들을 generalized web subgroup 혹은 degenerate group without accidental parabolic인 것을 보이도록 하겠음. 각각의 $j$에 대해서, $(R_j,P_j)$는 $N_j : = \Bbb H^3/G_j$의 relative compact core로 lift가 된다. 자 만약에 $\partial R_j - P_j$의 component가 incompressible 하다면, 그 boundary surface가 바라보는 end는 quasi-Fuchsian 혹은 degenerate end이기 때문에, 그에 대응되는 limit set은 connected이다. 만약 $\partial R_j - P_j$의 component $S$가 compressible하다면, 이제는 limit set의 connectedness를 바로 결론내릴 수는 없지만, $S$는 $\partial R_0 - P_0$의 compressible component로 lift가 된다. 근데 $\Lambda(\rho(\Gamma))$의 connectedness 때문에, 그 $S$가 바라보는 compressible end는 geometrically infinite이 된다. (만약 geometrically infinite이 아니라면, compressible end에 해당되는 domain of discontinuity는 infinitely connected가 된다. 이러한 disconnectedness가 $M$의 domain of discontinuity에도 그대로 반영이 되기에, limit set이 hemisphere 전체를 꽉 채우는 degenerate case이어야 한다) 이제, construction에 의해서, $R_j$는 한쪽 boundary는 $P_j$에 들어있고, 다른 한쪽 boundary는 $\partial R_j-P_j$의 incompressible component에 포함되는 essential annulus는 존재하지 않는다. 따라서 Lemma 8에 의해 $G_j$는 generalized web subgroup이거나 degenerate group without accidental parabolic이 된다.

Remark. 우리가 Lemma 8을 이용함에 있어서, $M$이 algebraic limit이라는 것을 전혀 사용하지 않았다. 일반적인 hyperbolic 3-manifold의 세팅에서, $\mathcal{A}$를 compressing해서 얻은 각각의 piece들의 $\pi_1$은 따라서 전부 generalized web subgroup 혹은 degenerate group without accidental parabolic에 해당된다. (Tameness가 해결된 지금에 있어서는 자명하게 받아들여지는 사실이다. - 참고로 이 논문 쓰여질 당시 이미 tameness가 해결됐었다.)

나아가, Proposition 7을 사용할 적에, 임의의 hyperbolic 3-manifold에 대해서, 특정 topological 상황을 제외하고는 geometrically finite end에 해당되는 group들은 (generalized web group) precisely embedded system이 되기 때문에, covering에 있어서, 각각의 group에 대응되는 core들이 covering map에 의해서 base manifold에 embedding이 된다는 사실을 알 수 있다. 따라서 rank 1 cusp의 조건이 상당히 crucial한 조건임을 다시 한번 확인할 수 있다.

이제 $G_j$를 다시 넘버링을 해서, $1\leq j\leq l$ 까지는 generalized web subgroup, $l< j\leq n$까지는 degenerate group이라고 하자. 이제 Proposition 7에 의해서 $(G_1,\ldots,G_l)$은 system of precisely embedded generalized web subgroup of $\rho(\Gamma)$가 된다. 따라서, Proposition 6에 의해서 적절한 core들 $K_1,\ldots,K_l$ of $\Bbb H^3/G_1,\ldots,\Bbb H^3/G_l$이 존재해서, $M$에 disjoint하게 embedding이 된다. 각각의 $K_j$들은 적절히 deformation retract을 해서 $\Bbb H^3/G_j$의 convex core에 들어있도록 조절할 수 있다. 따라서 projection을 하면 $M$의 convex core에 들어가게 된다.

이제 여기서 내가 좀 확신이 없는 것이, 논문에서는 Anderson, Canary, McCullough의 "The topology of deformation spaces of Kleinian groups" 을 인용하면서, 거기에 Theorem A의 증명과 유사하게, $(G_1,\ldots,G_l)$이 geometric limit의 subset으로서도 precisely embedded system of generalized web sugroup이라고 하는데, 내가 저 논문을 일어본 적이 없고, 논문 수준이 좀 높아서 (Annals paper다) 저 부분의 증명을 정확히 추출하기에는 좀 어려워서, 나중에 저 논문을 읽게 되면 그때가서 증명을 추가해보기로 함. 암튼, Proposition 6에 의해서 필요하다면 적절히 deformation retract를 더 해서 $K_1,\ldots, K_l$는 $M_G$에서도 disjoint subset으로서 disjoint하게 embedding이 된다.

이제 degenerate group들 $G_{l+1},\ldots,G_n$을 고려해보자. 그러면, Tameness에 의해서, $\Bbb H^3/G_j$들은 어떤 surface $F_j$에 대해서 $F_j\times\Bbb R$과 homeomorphic하고 한쪽 end는 degenerate이고 다른 한쪽은 quasi-Fuchsian 인 경우다. Algebraic limit의 geometrically infinite end는 geometric limit에 covering map에 대해서 embedding이기 때문에, 위의 $\Bbb H^3/G_j$의 geometrically infinite end들의 각각의 neighborhood들 $K_j$는 $M_G$에 embedding이 된다. 위에서 generalized web의 경우에는 disjoint하게 embedding되는 것을 Proposition 6이 보장해줬지만, degenerate인 경우에는 보장해주지 않는다. 하지만 degenerate end들이 만약 disjoint하지 않는다면, 우리가 end가 갈라지는 pinching되는 경우를 모두 annuli들을 따라서 compressing을 하면서 전부 갈라놨기 때문에, 두 end들은 같은 end를 공유하게 된다. 따라서, $K_j$와 $K_{j'}$가 disjoint하지 않는다면, $G_j$와 $G_{j'}$는 어떤 element $\gamma\in\Gamma_G - \rho(\Gamma)$에 의해서 $\gamma G_j \gamma^{-1} = \Gamma_{j'}$가 되고 (애초에 $G_i$들을 algebraic limit 으로 부터 만든 것이기 때문에, algebriac limit element로 conjugate이 될 수는 없다), 따라서 $\gamma\Lambda(G_j) = \Lambda(G_{j'})$가 되는데, 이것은 다음의 proposition에 의해 불가능하다:

Proposition 4.2 ([AC]) Let $G$ be a finitely generated, torsion-free, nonabelian group, let $\{\rho_i:G\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C\}$ be a sequence of discrete faithful representation converging to $\rho$ algebraically and suppose that $\{\rho_j(G)\}$ converges to $\hat{\Gamma}$ geometrically. If $\Gamma_1$ and $\Gamma_2$ are two (possibly equal) topologically tame subgroups of $\rho(G)$ and $\gamma\in\hat{\Gamma} - \rho(G)$, then $P(\Gamma_1,\gamma\Gamma_2\gamma^{-1}) = \emptyset$. In particular,

$$\Lambda(\Gamma_1\cap\gamma\Gamma_2\gamma^{-1}) = \Lambda(\Gamma_1)\cap\gamma(\Lambda(\Gamma_2)),$$

and $\Lambda(\Gamma\cap\gamma\Gamma_2\gamma^{-1})$ contains at most one point.

위의 Proposition 4.2를 이용해서 비슷한 이유로, $1\leq j\leq l$과 $l+1\leq j'\leq n$에 대해서, $K_j$와 $K_{j'}$들이 $M_G$에 $M_G$의 convex core에 disjoint하게 embedded되게 만들 수 있다. ($M_G$에서 이미 $K_j$들과 $K_{j'}$들은 서로서로 이미 disjoint하다. 하지만 $K_j$와 $K_{j'}$의 disjointness를 보증하기 위해서는 위의 argument가 필요하다.)

Proof of Proposition 4. 먼저 limit set $\Lambda(\rho(\Gamma))$가 connected라고 하자. 그러면, construction에 의해서, $K_1,\ldots,K_n$들과 cusp들을 모두 합쳐놓으면 $M$의 core가 됨. (Property (3)) 가정에 의해서, 모든 rank 1 cusp들이 $M_G$에 embedding이 되기 때문에, 그리고 모든 $K_i$들이 $M_G$에 embedding이 되기 때문에, 만들어진 core는 $M_G$에 embedding이 됨. (Property (1)) Construction에 의해서 $M$의 geometrically infinite end를 모두 포함하고 있다. (Property (2)) 마지막 Property (4)를 만족하기 위해서는, cusp들 중에 geometrically finite end를 만나는 경우에는 conformal boundary쪽으로 뻗어나가는 cusp의 부분을 totally geodesic annuli를 따라서 적절히 잘라내면 만족하게 됨.

이제 limit set $\Lambda(\rho(\Gamma))$가 disconnected라고 하자. 그러면, Klein combination theorem에 의해서, $\Gamma$를 limit set이 connected인 vertex group들 $\Gamma^1,\ldots,\Gamma^k$을 trivial edge들로 연결시키는 graph of group들로 나타낼 수 있다. Manifold 레벨에서는, trivial edge는 $M$의 compressing disk를 말하고, $M$을 $M^1,\ldots, M^k$들의 조각들로 compression을 할 수 있다. 이때 $\pi_1(M^j)\simeq\Gamma^j$가 된다. 이제 각각의 piece들은 이전의 connected limit set 케이스에서 $\Bbb H^3/\rho(\Gamma^j)$들의 core $K^j$들을 가져온다. 그러면 이러한 core들 $K^j$들은 $M$의 convex core에 disjoint하게 embedding이 된다. 이제 compressing disk에 transverse한 arc를 잡고, 그것의 regular neighborhood를 잡아서 각각의 $K^j$들을 연결시킨다. 여기서 transverse arc는 convex core에 들어가도록 잡을 수 있고, $\pi$에서 injection으로 들어가게 할 수 있다. 이렇게 만들어진 core는 Proposition 4의 조건들을 모두 만족시킨다. $\square$

Proof of Proposition 5. 다시, limit set $\Lambda(\rho(\Gamma))$를 connected로 하자. Setup에서 말한 것 처럼, $\rho(\Gamma)$는 cyclic parabolic subgroup을 edge로 갖고 vertex group이 $G_1,\ldots,G_n$들인 graph of group이 된다. 그리고 $K_1,\ldots, K_n$들은 $\pi_1(K_j) = G_j$인 각 $\Bbb H^3/G_j$의 compact core이면서, $M$과 $M_G$에 동시에 disjoint하게 embedded 되어있다. 또한, cusp을 따라, 그리고 geometrically infinite인 경우에는 end의 neighborhood를 적절히 베어내서 $G_j$들의 relative compact carrier $(R_j,P_j)$ s.t. $R_j\subset K_j$ 를 얻을 수 있다. 따라서, 모든 parabolic element in $\rho(\Gamma)$는 어떤 $P_j$의 closed curve로 represent할 수 있다.

Proposition 4의 상황과 다르게, rank 1 cusp이 rank 2 cusp을 cover할 수 있다. 따라서, $M$의 compact core가 $M_G$에 embedding되지 않을 수 있다. 그렇기에 우리는 [ACM]에서 사용되는 machinery를 좀 사용해야 한다.

내가 [ACM]을 안읽어봐서 일단은 받아들일 수 밖에 없긴 한데... 나중에 읽게 되면 좀 더 자세히 쓰도록 하겠다.

앞서 우리는 $\rho(\Gamma)$의 parabolic element들은 $P_j$의 closed curve로 represent할 수 있다는 결론까지는 얻었는데, 우리가 원하는 것은, approximate들 $\rho_i$들의 peripheral들로 나타내는 것이다.

우리의 상황에서는 Geometric limit $M_G$의 submanifold를 적절히 construct를 해서 $k_i$-biLipschitz map들 $h_i$들에 의해서 compact core of $M_i$들로 mapping이 되게 하는 것이다. [ACM]에 의하면, 어떤 disjoint tori $T_1,\ldots,T_l$ in $M_G$를 찾을 수 있어서, 다음과 같은 성질을 만족키실 수 있다고 한다:

(1) Every torus $T_i$ is contained in a cusp of $M_G$ which is covered by a cups of $M$; and

(2) for each $1\leq i\leq l$, $1\leq j\leq n$, the intersection $T_i\cap \pi(R_j)$ is either empty or an annulus contained in a component of $\pi(P_j)$; and

(3) the union $K = \bigcup \pi(R_j)\cup\bigcup T_i$ is mapped to a compact core $B_i$ of $M_i$ for large $i$.

따라서 $T_i$들은 rank 1 cusp에 의해서 cover되는 rank 2 cusp들을 나타낸 것들이다. (2)는 상식적이고, (3)이 가장 nontrivial한 것인데, $\pi(R_j)$들이 disjoint하게 embedded 되어 있으면, 그것을 $T_i$들이 transverse하게 intersect를 해서 하나의 core로 만들어지는 것 같다.

따라서, 만약 $\gamma$가 어떤 $P_j$에 embedded 되어 있으면, $h_i\circ \pi(\gamma)$는 $B_i$의 boundary curve로 up to homotopy로 represent할 수 있다. ($K$가 compact core $B_i$로 bilipschitz하게 보내진다는 것에 의한 결론이다.) Limit set이 connected인 경우는 이렇게 보여진다. (한가지 알아야 할 것은, 우리는 암묵적으로 passing to a subsequence를 해서 $\rho_i$들이 algebraically, 그리고 geometrically convergent하다는 것을 가정하고 있다. 따라서, statement에는 algebraic limit만 등장하지만, geometric limit에서의 machinery를 이용하고, 그 approximate들을 이용해서 $\rho_i$들의 manifold에 대한 성질을 도출해내는 방식을 취했다.)

Limit set이 disconnected인 경우는 앞선 경우와 비슷하게, vertex group $\Gamma^1,\ldots,\Gamma^k$들의 limit set들이 connected인 경우로 쪼갤 수 있다. 만약 $\rho(\gamma)$가 어떤 $\gamma\in\Gamma$에 의해서 parabolic을 represent한다면, $\gamma$는 적절한 conjugation을 통해서 $\Gamma^1,\ldots,\Gamma^k$들 중에 하나의 group으로 들어갈 수 있다. 위의 connected limit case인 경우에서 만들어진 $M_G$의 compact submanifold들을 $K^j$라고 하자. $M$의 compressing disc들에 transverse한 arc $\alpha$ 또한 $M_G$에 embedding이 되도록 잡을 수 있고, $\pi(\alpha)$들과 $K^1,\ldots,K^k$들이 $h_i$에 의해서 large $i$에 대해서 $M_i$에 embedding이 되도록 할 수 있고, 이것으로 증명이 끝난다. $\square$

Sufficiency (Theorem 1)

이제 여기서는 Theorem 1을 보이기로 한다. 다시 말해서, a sequence of convex cocompact representations $\{\rho_i\}$ of Kleinian group $\Gamma$에 대해서, 만약 $\rho_i$가 $\rho$로 algebraically convergent한다고 했을 때, 만약 모든 conformally peripheral element in $\rho(\Gamma)$가 $M_i = \Bbb H^3/\rho_i(\Gamma)$에서 conformally pinching이 된다면, sequence는 strongly convergent 하다는 것. 이 정리가 말하는 것은, 결국 convex cocompact Kleinian group의 deformation space에서는 accidental parabolic들이 strong convergence의 핵심 obstruction이라는 것을 말하고 있다. 이 obstruction만 없다면, strong convergence는 guarantee 된다는 것이다. (Convex cocompactness가 없으면 어떻게 될까?)

만약 algebraic limit의 conformal boundary가 없다면, covering theorem의 consequence 중 하나가, 이러한 sequence는 (굳이 convex cocompact가 아니더라도) 항상 strongly convergent 하다는 것이다. 물론 conformal boundary가 없으면, peripheral element 자체가 없기도 하다. 따라서 우리는 algebraic limit의 conformal boundary가 항상 존재한다고 가정한다. 우리가 보일 것은, 만약 $\rho_i(\Gamma)$가 $\Gamma_G$로 geometrically convergent한다면, strongly convergent 하다는 것을 보일 것이다.

$\rho_i(\Gamma)$가 $\Gamma_G$로 geometrically convergent 하기 때문에, 어떤 sequence of bilipschitz approximate들

$$h_i:Z_i\to h(Z_i)\subset M_i,\quad Z_i\subset M_G$$

가 있다고 할 수 있다. 이제 $M$을 유한하게 많은 submanifold들로 쪼갠 다음에 $\pi$가 각각의 submanifold에 대해서 injective 하다는 것을 보일 것이다. 물론 이거 자체로 homeomorphism이 되는 것은 아니다. (임의의 covering space도 같은 성질을 갖고 있다) 포인트는 "finitely many"에 있다. 서로 다른 piece들이 같은 지점으로 mapping이 될 수는 있지만, algebraic-geometric limit의 성질에 의해서, 만약 algebraic limit과 geometric limit이 다르다면, covering은 항상 infinite sheeted라는 것이 알려져 있다. 우리의 경우에는 그것이 안되기 때문에 homeomorphic한 manifold라고 결론낼 수 있다.

다음의 Lemma에 의해서, 우리의 상황에서 (conformal pinching) Corollary 2를 적용할 수 있다. 따라서, $M$의 어떤 compact core는 covering map에 의해서 $M_G$의 compact core로 embedding이 된다.

Lemma 9. No maximal parabolic subgroup of $\rho(\Gamma)$ is contained in a parabolic subgroup of $\Gamma_G$ of rank 2.

Proof. 다시 말해서, $M_G$의 rank 2 cusp을 cover하는 $M$의 (rank 1) cusp은 존재하지 않는다는 말이다. 만약 $\delta\in\mathcal{D} - \mathcal{D}_c$에 있다면, covering theorem에 의해서, geometrically infinite end에서는 injective하게 mapping이 되기 때문에, cover하는 cusp이 될 수 없다. 이제 $\delta\in\mathcal{D}_c$라고 해보자. 그리고 대응하는 rank 1 cusp in $M^{<\epsilon}$이 rank 2 cusp $Q(\epsilon)\subset M_G^{<\epsilon}$, $\epsilon<\mu_3/2$을 cover한다고 해보자. 그러면 $Q(\epsilon)$ 자체는 $M_G$의 convex core의 interior에 존재하게 된다. Proposition 2에 의해서, approximating bilipschitz map $h_i$는 충분히 큰 $i$에 대해서 $\partial Q(\epsilon)\cong S^1\times S^1$을 $M_i$의 convex core $C_i$로 mapping을 한다. 또한, lemma 7에 의해서, $h_i(\partial Q(\epsilon))$은 충분히 큰 $i$에 대해서, $2\epsilon$-Margulis tube $T(\delta;2\epsilon)\subset M_i$에 포함되고, tube의 core는 $\rho_i(\delta)^*$에 해당된다. 반면, $\partial Q(\epsilon)$의 injectivity radius는 어떤 constant $\epsilon'>0$에 의해 bounded below 되어있다. 따라서 Lemma 4에 의해, $h_i(\partial Q(\epsilon))$은 충분히 큰 $i$에 대해서 $M_i^{<\epsilon'/2}$와 disjoint하게 존재한다. In particular $\epsilon'/2$-Margulis tube $T_i(\delta;\epsilon'/2)$ around $\rho_i(\delta)^*$. 따라서, fix 된 $\epsilon <\mu_3/2$에 대해서, region $h_i(Q(\epsilon) - Q(\epsilon'/4))\subset M_i$ 그리고 $T_i(\delta;2\epsilon) - T_i(\delta;\epsilon'/2)\subset M_i$는 $M_i$에서 밑에 그림처럼 "interlock" 되어 있다.

따라서 $h_i(\partial Q(\epsilon))$은 $\partial T_i(\delta;2\epsilon)$과 $\partial T_i(\delta;\epsilon'/2)$를 separate 한다.

Conformally peripheral pinching 되는 것과 proposition 5에 의해서, boundary $\partial C_i$는 충분히 큰 $i$에 대해서 $T_i(\delta;2\epsilon)$과 $T_i(\delta;\epsilon'/2)$와 intersect를 한다. ($\epsilon$과 $\epsilon'$는 fixed 되어있고, pinching에 의해서 $\delta$의 길이는 arbitrary하게 작아질 수 있다. 다시 말해서, Margulis tube 안에 arbitrary하게 convex core가 깊게 들어갈 수 있다.) 근데 $h_i(\partial Q(\epsilon))\subset C_i$가 된다는 것과 $h_i(\partial Q(\epsilon))$은 두개의 Margulis tube를 separate 한다는 것에 모순이다. $\square$.

*Lemma 4. For every compact subset $K$ of $M_G$ there is an index $I$ such that for every $i\geq I$,

$$\mathrm{inj}(h_i(K))\geq {1\over 2}\mathrm{inj}(K).$$

Rmk. 증명을 좀 더 직관적으로 풀어쓰자면 다음과 같다: 만약 rank 1 cusp이 rank 2 cusp을 cover한다고 하면, 당연히 해당하는 rank 2 cusp의 cuspidal thin part (증명에서는 $Q(\epsilon)$) 과 rank 2 cusp으로 projection 된다는 가정하에 거기로 다가가는 approximating Margulis tube (증명에서는 $T_i(\delta;\epsilon)$) 를 비교 해야 한다. Conformal pinching에 의해서 Margulis tube는 cuspidal thin part로 arbitrary 하게 깊게 들어갈 수 있다. 이거와 모순이 되는 상황이 증명에서는 interlocking 하는 상황을 만드는 것이다. Interlocking 하는 상황을 연출 할 수 있는 핵심은 lemma 4로, geometric limit의 convex core의 injectivty radius와 approximating bilipschitz map의 image하에서의 injecticity radius를 비교할 수 있다는 것이다. 물론 이러한 비교가 기본적으로 말이 되는 이유는 proposition 2에 의해서 충분히 큰 $i$에 대해서는 convex core가 convex core로 간다는 사실 때문이다.

이제 $\epsilon_0>0$를 Margulis constant $\mu_3$보다 작게 잡자. Lemma 9에 의해서, $\pi:M\to M_G$는 모든 thin part $M^{<\epsilon_0}$의 unbounded component들에 대해서는 injective 하다. (물론 bounded component에서는 자명히 injective하다) 또한, Corollary 2에 의해서, algebraic limit에는 적당한 relative compact core $(K(\epsilon_0),P(\epsilon_0))$이 존재해서, $\pi$가 $K(\epsilon_0)$에서 injective 하고 모든 geometrically infinite end에 해당되는 $M^{\geq\epsilon_0} - K(\epsilon)$의 component들에서 injective 하다. 이제 core에서 geometrically finite end의 component에 해당되는 부분에서도 injective 하다는 것을 보이면 끝난다.

먼저 다음의 proposition에서 중요하게 쓰이는, 그리고 그 자체로도 중요하고 놀라운 drilling theorem에 대해서 state한다:

The drilling theorem (Brock, Bromberg). Given $L>0$ and $\epsilon<\mu_3$, there is a constant $\epsilon_{BB}>0$ such that if $M$ is geometrically finite hyperbolic 3-manifold without rank 1 cusps and $\gamma$ is a closed geodesic in $M$ of length at most $\epsilon_{BB}$, then there is an $L$-bilipschitz diffeomorphism of pairs

$$f:(M-T(\gamma;\epsilon),\partial T(\gamma;\epsilon))\to(\hat{M} - P(\gamma;\epsilon),\partial P(\gamma;\epsilon))$$

where $\hat{M}$ is the complete hyperbolic structure on $M - \gamma$ with the same conformal boundary as $M$, and $P(\gamma;\epsilon)$ is the rank 2 cups component of the thin part $\hat{M}^{\leq\epsilon}$ corresponding to $\gamma$ and $T(\gamma;\epsilon)$ is the $\epsilon$-Margulis tube around $\gamma$ in $M$.

Proposition 8. The covering $\pi$ is injective on the closure $\overline{E}$ of every component $E$ of $M^{\geq\epsilon_0} - K(\epsilon_0)$ which represents a geometrically finite end of $M$.

Proof. 개인적으로 이 정리의 증명을 제일 좋아한다. Drilling theorem이 어떻게 쓰이는지 대충 묘사하기 때문이다. $\pi$가 $\overline{E}$에서 injective가 아니라고 해보자. 그러면 우리는 geometric limit에는 들어있지만, algebraic limit에는 들어있지 않은 어떤 $\pi_1$에서의 원소를 하나 구체적으로 잡을 수 있다. (존재는 당연하지만 구체적으로 잡는건 다른 얘기다)

Lemma. There is an embedded arc $\alpha:[0,1]\to\overline{E}$ such that $\pi(\alpha(0)) = \pi(\alpha(1))$. Moreover, $\alpha$ may be chosen such that there is unique parameter $t_0\in [0,1]$ with $\alpha(t_0)\in\mathrm{Fr}(E) = \partial E - \partial M^{<\epsilon_0}$ and either

(1) $t_0 = 0$ and $\pi(\alpha(t))\in\pi(\mathrm{Fr}(E))$ only for $t = 0,1$; or

(2) $t_0\in(0,1)$ and $\pi(\alpha(t))\in\pi(\mathrm{Fr}(E))$ only for $t = t_0$.

Lemma의 구체적인 증명은 생략하겠다. 대충 $\pi$가 geometrically finite end 외의 부분에서는 injective하다는 성질을 이용하면 된다.

적절히 conjugation을 해서, $p = \alpha(t_0)\in\mathrm{Fr}(E)$가 $M$의 basepoint로 잡을 수 있다. 그러면 $p_G = \pi(p)$는 $M_G$의 basepoint가 된다. $\alpha_G$를 $\pi\circ\alpha$로 잡고 parametrization을 적절히 해서, $\alpha_G(0) = p_G$가 되도록 하자. 그러면 이거는 $M_G$에서는 closed curve가 되고, M으로 lift를 하면 closed curve가 아닌 arc가 된다.

Brock, Bromberg, Evans, Souto가 density conjecture를 해결 할 당시에, "drilling theorem"을 써서, geometrically finite한 sequence of representation which converges algebraically and geometrically 를 algebraic limit은 같지만 strongly convergent한 새로운 sequence of reprensetation들을 만드는 것에 성공했다. 물론 새로운 sequence의 convergent는 원래 sequence의 convergence에 대한 어떠한 것도 말해주진 않는다. (그냥 algebraic limit이 같은 다른 sequence다) 논문에서 시도하는 것은, 만약 원래 sequence가 conformal pinching 성질까지 갖고 있다고 한다면, 새롭게 만들어진 sequence는 $\alpha_G$를 $M$으로 lift를 시킬 수 있다는 것이다. 그러면 $\alpha_G$의 성질에 의해서 모순이 된다.

Conformal pinching 성질은 drilling theorem을 적용하는데 사용된다. 각각의 $\epsilon>0$과 $\delta\in\mathcal{D}$에 대해서, 적당히 큰 $i$에 대해선 $\rho_i(\delta)$의 translation length는 $\epsilon$보다 작게 잡을 수 있다. 따라서, drilling theorem에 의해서, $\epsilon$을 충분히 작게 만드면, $\rho_i(\delta)$에 correspond하는 geodesic들 $\rho_i(\delta)^*\subset M_i$을 도려낼 수 있다. Drilling을 통해서 만든 manifold 들을 $\hat{M}_i$라고 하면 bilipschitz diffeomorphism

$$f_i: M_i - \bigcup_{\mathcal{D}}T_i(\delta;\epsilon_i)\to\hat{M}_i - \bigcup_{\mathcal{D}}P_{\epsilon}$$

이 존재한다. (이 또한 drilling theorem의 statement의 일부) 여기서 $T_i(\delta;\epsilon_i)$는 $\rho_i(\delta)^*$를 core로 갖는 $\epsilon_i$-Margulis tube in $M_i$이고, $P_\delta$는 $\hat{M}_i$에 대응되는 rank 2 cusp에 해당된다. $i$가 무한으로 갈 수록, $\epsilon_i\to 0$이기 때문에, $f_i$의 bilipshictz constant 는 $1$로 수렴을 한다. 따라서, $f_i$와 $M_G$의 approximating diffeomorphism $h_i$를 합성해서 $M_G$의 compact subset들에서 bilpschitz constant가 1로 수렴하는 $M_G$의 $\hat{M}_i$ 으로의 approximating diffeomorphism을 만들 수 있다. 다시 말해서, $\hat{M}_i$는 $M_G$로 geometrically convergent 한다.

이제 $\hat{p}_i = f_i(p_i)$를 $\hat{M}_i$의 basepoint로 잡자.

Claim: There are subgroups $\Gamma'_i$ of $\pi_1(\hat{M}_i,\hat{p}_i)\subset\mathrm{PSL}_2\Bbb C$ and injective homomorphisms $\rho'_i:\Gamma\to\Gamma'_i\subset\mathrm{PSL}_2\Bbb C$ such that the sequence $(\rho_i')$ converges algebraically to $\rho$.

$(\because)$ 다시 말해서, 기존의 algebraic limit $\rho$로 converge하는 새로운 sequence of representations $\{\rho_i'\}$를 찾는 것이다. 충분히 큰 $i$에 대해서, $f_i\circ h_i\circ \pi$는 $M$의 core $K(\epsilon_0)$에 정의되어 있다.

$$\rho'_i: = (f_i\circ h_i\circ \pi)_*\circ\rho:\Gamma\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$$

라고 정의하자. 그러면 $(f_i\circ h_i\circ \pi)|_{K(\epsilon_0)}$의 bilipschitz constant가 $1$로 수렴하기 때문에, algebraic convergence의 characterization에 의해서, $\rho'_i$는 $\rho$로 algebraically convergent 하다. $\square$

Claim: The convergence $\rho_i'$ to $\rho$ is strong.

$(\because)$ limit manifold의 cusp에 해당되는 부분들을 전부 drill out 해버렸기 때문에 sequence는 type-perserving이 되고, $\rho(\Gamma)$의 conformal boundary는 nonempty이기 때문에 Anderson과 Canary의 convergence theorem에 의해서, strong convergence를 보이게 된다. $\square$

지금까지 나온 것들을 종합하면 다음 diagram에 넣을 수 있다:

$\rho_i'(\Gamma)\to\rho(\Gamma)$의 geometric convergence에 의해서, 각각의 submanifold $Z'_i$ of $M$에 대해서, bilipschitz diffeomorphism $h'_i:Z'_i\to M'_i = \Bbb H^3/\rho'_i(\Gamma)$가 존재한다. 충분히 큰 $i$에 대해서 $Z'_i$는 $M$의 core가 될 수 있고 $M$의 base point $p$를 포함하게 할 수 있다. 따라서, Lemma 7에 의해서,

$$(h_i')_* = \rho_i'\circ\rho^{-1}\quad\text{on }\pi_1(Z_i',p)$$

가 된다. 만약 우리가 $p'_i = h_i'(p)$를 $M'_i$의 basepoint 라고 하고 $\pi_1(M'_i,p'_i)$를 $\pi_1(\hat{M}_i,\hat{p}_i)$의 subgroup $\Gamma_i' = \rho_i'(\Gamma)$으로 identify를 하면, $\pi_i:M'_i\to\hat{M}_i$ 이라는 covering을 얻을 수 있다. (위에 diagram을 보면서 읽으면 쉽다.) 그러면 $\rho'_i$의  정의 $\rho_i' = (f_i\circ h_i\circ \pi)_*\circ\rho$에 의해서,

$$(\pi_i\circ h'_i)_* = (f_i\circ h_i\circ \pi)_*\quad{on }\pi_1(Z'_i,p)$$

가 된다. 위에 Claim에 의해서, $\rho'_i$가 type-preserving 이라는 것을 알고 있기 때문에, homotopy between $\pi_i\circ h'_i$과 $f_i\circ h_i\circ\pi$는 $\hat{M}_i$의 rank 2 cusp와 disjoint하게 잡을 수 있다. 따라서, drilling diffeomorphism $f_i$의 image와 disjoint하게 잡을 수 있다. 따라서,

$$(h_i^{-1}\circ f_i^{-1}\circ\pi_i\circ h_i')_* = \pi_*\quad\text{on }\pi_1(Z_i',p)$$

가 된다.

지금까지, 우리는 앞서 말한 density conjecture를 해결 할 당시의 전략을 그대로 가져와서, 기존의 sequence $\rho_i$의 algebraic limit $\rho$와 같은 algebraic limit을 갖으면서, strongly convergent한 sequence $\rho'_i$를 얻었다. 다시 말해서 지금까지의 모든 과정은 conformally peripheral pinching 성질을 사용하지 않았다. 따라서 기존 sequence $\rho_i$의 convergence에 대해서는 전혀 이야기 하지 않고 있다. 하지만 우리가 원하는건 기존 sequence의 convergence다!

Claim: By the conformally peripheral pinching property, the closed curve

$$\hat{\alpha}_i = f_i\circ h_i\circ\alpha_G:S^1\to\hat{M}_i$$

lifts to $M_i'$.

만약 Claim이 맞다면, $(h^{-1}_i)'$는 lift를 $M$으로 보낼 것이고, 따라서 $\alpha_G$가 $M$으로 lift 되고 이것으로 모순이 발생한다. (위에 diagram을 보면 이해하기 쉽다.)

Claim의 증명에 있어서 가장 technical 한 lemma가 하나 등장하는데, 이것의 증명은 따로 하지 않겠다. (굉장히 technical하고 복잡하다.)

Lemma. There is a constant $\epsilon_4>0$ such that for large $i$, the closed curve $h_i\circ\alpha_G:(S^1,0)\to (M_i,p_i)$ is homotopic (rel 0) to the core $K_i(\epsilon_0)$ of $M_i$ by a homotopy $H_i:S^1\times[0,1]\to M_i$ whose image is disjoint from $T_i(\delta;\epsilon_4/2)$ for every $\delta\in\mathcal{D}$.

위의 lemma가 말하는 것은, 충분히 큰 $i$에 대해선 closed curve $h_i\circ\alpha_G:S^1\to M_i$는 core $K_i(\epsilon_0) = h_i\circ\pi(K(\epsilon_0))$로 homotopic하게 들어갈 수 있고, 나아가 drilling diffeomorphism의 image 안에서 homotopy가 진행하게 만들 수 있다는 것이다.

Lemma에 의해서, 충분히 큰 $i$에 대해서 $f_i\circ H_i$가 정의가 되고 closed curve $\hat{\alpha}_i:(S^1,0)\to (\hat{M}_i,\hat{p}_i)$에서 $f_i\circ h_i\circ\pi(K(\epsilon_0))\subset\hat{M}_i$으로의 homotopy rel 0가 된다. $\rho_i'$의 정의에 의해서, $\hat{\alpha}_i$는 subgroup $\hat{\Gamma}_i' = \rho_i'(\Gamma)<\pi_1(\hat{M}_i,\hat{p}_i)$의 element를 represent 하게 되고, 따라서 $M'_i$로 lift할 수 있다. Basepoint를 $p'_i$로 갖는 lift를 $\alpha'_i\subset M_i'$라 하자. $M_i'$의 $M$으로의 geometric convergence에 의해서, closed curve $\alpha'_i$는 approximating diffeomorphism $h_i'$의 inverse에 의해서 $M$으로의 closed curve $h_i'^{-1}\circ\alpha_i'$로 mapping이 된다. Closed curve $h_i'^{-1}\circ\alpha_i'$는 basepoint $p = h_i'^{-1}(p_i')$ of $M$을 basepoint로 갖게 된다. 따라서 위의 equation $(h_i^{-1}\circ f_i^{-1}\circ\pi_i\circ h_i')_* = \pi_*$에 의해서, $\pi\circ h_i'^{-1}\circ\alpha_i'$와 $\alpha_G$는 homotopic하고, 따라서 $\alpha_G$는 $M$으로 lift가 된다. $\square$

[AC] Anderson, Canary - Cores of hyperbolic 3-manifolds and limits of Kleinian groups

[ACM] Anderson, Canary, McCullough - The topology of deformation spaces of Kleinian groups