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마구리 [800513] · MS 2018 (수정됨) · 쪽지

2024-10-18 15:12:43
조회수 2,459

수리논술 대비용 평균값 정리 + 조임정리의 강력함

게시글 주소: https://a.orbi.kr/00069527886

평균값의 정리와 조임정리가 뭔지는 다들 알테니 각설하고,

평균값의 정리에서 구간의 양 끝이 꼭 상수일 필요는 없음 <<<< 개인적으로 깨닫고 충격 오지게 먹었던 내용임

즉, 구간의 양 끝을 변수로 잡아도 됨.

이 때, 끼어드는게 조임 정리임

구간의 양 끝이 같은 값으로 수렴해 간다면?

난 미분을 하지도 않았는데 미분계수를 구할 수 있는거임.

이게 뭔 소린지 한 번 예제로 보자.


1. 


2. x>0 일 때, 다음을 증명하시오.




예제를 더 쓰려다가 타이핑 힘들어서 걍 두 가지만 보여주겠음.

우선 1 번은 미적 선택자라면 아는 

이 식만으로도 풀린다는 점에서 조금 아쉽게 된 문제긴 함.

그러나 평균값의 정리를 쓰기 위해

x>0에서 x>sin x 이고, 

라고 하면, 닫힌구간 [sin x, x]에서 f(x)가 연속이고, 열린구간 (sin x, x)에서 f(x)가 미분가능하므로

를 만족하는 c가 존재함

이 때, x가 0+로 가면 조임정리에 의해 c도 0+로 가기 때문에


이 성립함.

같은 방법에 의해 x<0에서 나오는 좌극한도 1이 나오므로 이 값은 1임.


쓰다보니 손이 너무 아파서 좀 쉬었다가 2 번 해설도 작성하겠음.
중요한건 조임정리와 평균값의 정리를 이런 식으로 쓰까서 응용할 수 있다는 점임!!

걍 알아두면 써먹을 수도 있고, 아닐 수도 있는데 알아서 나쁠건 없어서 올려봄.


2 번 풀이임

ln x 미분한거 같은게 양변에 있으니까 f(x)=ln x라고 두는게 합리적이라 판단해야만 함.

이 때, f(x)는 닫힌구간 [x, x+1]에서 연속이고, 열린구간 (x, x+1)에서 미분가능하므로~

부터는 직접 함 해보시고 안 되시면 쪽지나 댓글 남겨주셈

쓰려다보니 뭔가 귀찮고 그러네....ㅋㅋ;; ㅈㅅㅈㅅ;;


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마구리 [800513]

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