[칼럼] 기하 뉴비들을 위한 안내서 Vol.1 (Feat. 베르테르 19번)
게시글 주소: https://orbi.kr/00071670622
부제 - 문제를 "다각도로" 바라보셔야 합니다
안녕하세요, 의대왔다고 입니다.
오늘 칼럼은 기하 문제를 다각도로 바라보고 해결하는 방법에 대해 다뤄볼까 합니다.
기하라는 과목 자체가 선택자 수가 적기도 하고, 그럼에도 기하라는 과목을 선택하시는 분들은 이미 기하를 잘 하시는 분들이 많기 때문에 이 칼럼이 얼마나 많은 분들께 도움이 될 지 잘은 모르겠습니다.
그러나, 혹여나 기하를 그저 "재능의 영역"으로 생각하고 막연히 기피하고 계시거나, 미적에 자신이 없어 선택과목을 변경하시고 싶으신 분들이 약간의 힌트를 얻어가실 수 있으리라고 생각하고, 오늘 칼럼은 그런 분들께 초점을 맞춰 진행해보도록 하겠습니다. 혹시나 나는 미적분 선택자지만, 과외에서 기하도 가르칠 필요가 있다라거나 가르치고 싶다(시급을 올려!) 하시는 분들도 읽어보시면 도움이 되실 것 같습니다. 그닥 딥한 내용은 나오지 않으니(학문 자체가 딥하지 못합니다) 편하게 읽어주시면 될 것 같습니다.
저희가 난이도가 높은 미적 문제를 풀 때는
1. 문제 발문을 몇 개의 친숙한 덩어리로 쪼갠 후
2. 각 덩어리에서 얻어내야 할 단서들을 얻어내서
3. 이를 조합해 나감으로써 해결합니다.
기하의 공간도형 문제들도 위와 비슷한 방식으로 해결해 나갈 수 있습니다.
다만, 문제의 발문을 "쪼개는" 대신, 주어진 입체를 다각도에서 관찰함으로써 저희에게 친숙한 상황들을 관찰하고 이로부터 필요한 정보들을 얻어냅니다. 이 내용을 조금 더 자세히 설명하기 위해 아래 문제를 분석해보도록 하겠습니다.
다음 문제는 기하를 공부해 보셨더라면 한번쯤은 들어보셨을 그 악명 높은 "베르테르 77제"의 19번입니다.
(시작부터 장난질이냐 라는 생각이 드실 수 있지만, 문제를 차근차근 여러 각도에서 바라보면 해당 문제가 그닥 빡빡한 문제는 아니라는 것에 동의하실 수 있으실 겁니다.)
위 문제를 끝까지 읽었을 때, 다른 조건은 그래도 머리에 좀 상황이 그려지는 방면, 정말로 물음표만 띄우는 발문이 하나 있을 것입니다. 바로 아래의 발문이죠.
해당 상황을 주어진 그림에 그대로 표시해보면 아래와 같습니다.
이걸 그리고 난 다음에 드는 생각은... "대체 어디가 A'T가 최대가 되는 지점일까" 라는 것입니다.
이 조건을 분석하기가 까다로운 이유는, 선분 A'B'과 점 T가 움직이는 원주가 한 평면 위에 올라가 있지 않기 때문입니다. 가령, 선분 A'B'과 점 T의 자취가 한 평면 위에 있었다면, A'T기 최대가 되는 점 T의 위치는 A', B', T가 한 직선 위에 있을 때가 될 것입니다.
그럼 이제 여기서 멘붕이 옵니다. 저 원주를 A'B'이라는 선을 포함하는 평면상에 정사영시켜서 타원을 만들고... 그게 일직선이 되는... 근데 높이는 또 고려해야 하는데... 머리가 아프죠.
근데 위 문제 상황을 아래와 같이 다른 각도에서 관찰하면 어떨까요?
위 상황을 평면 beta를 밑면으로 두고 관찰한 것입니다. 이 때, 점 A'을 평면 beta 위에 정사영시킨 점을 점 H라고 하면, 위 문제 상황을 아래와 같이 관찰할 수 있습니다.
이러면 H B' T가 한 직선 위에 있을 때 A'T의 길이가 최대가 됨을 직관적으로 쉽게 알 수 있게 됩니다.
그럼 아래와 같이 (나) 조건을 쉽게 분석할 수 있습니다. (밥아저씨가 된 기분이네요)
이제 구하라는 것을 구해서 답을 내보도록 합시다. 구하라는 것은 아래와 같습니다.
(어떠한 도형의 다른 평면으로의 정사영의 넓이를 구하는 방법도 크게 두 가지가 존재합니다. 이는 나중에 다른 칼럼에서 찾아뵙겠습니다.)
이 때, 주어진 문제 상황을 평면 alpha와 beta가 모두 일직선으로 보이게 되는 각도에서 관찰하면, 아래와 같은 모습이 보일 것입니다.
위 그림을 통해 AB와 PQ의 길이가 같고 평행하며, AB와 B'B가 수직함을 이용하여 원래 삼각형 ABB'의 넓이와, 삼각형 ABB'을 포함한 평면과 평면 alpha의 이면각을 알 수 있습니다.
따라서, 구하는 넓이 S는 아래와 같습니다.
풀이의 사고 과정을 차근차근 따라오셨다면, 이해가 가지 않는 부분이 딱히 있었을 것 같진 않습니다. 다만 물음표는 생길 수 있는데, 가령 아래와 같은 질문이 생길 수 있죠.
"야 너는 저걸 어떻게 평면 beta를 깔고 볼 생각을 했냐? 역시 기하는 재능이야."
위 생각을 하게 된 과정은 다음과 같습니다.
1. 저희는 원주 위를 도는 임의의 벡터를 다른 평면에 정사영시킨 벡터를 가지고 최대/최소를 논한 적이 단 한번도 없습니다. (못할걸요 애초에)
2. 그럼 A'B'을 원주가 있는 평면 위로 정사영 시켜봐야겠다는 생각이 자연스럽게 따라옵니다. 이 때 A' B'은 모두 고정점이기 때문에 정사영 시켰을 때 기존 문제 상황 대비 동점이 더 늘어나지도 않으며, 저희에게 "친숙한" 그 문제상황이 나타나기 때문에 옳은 방향을 잡았다는 것을 느낄 수 있습니다.
해당 문제의 풀이를 한 페이지에 정리하면 다음과 같습니다.
뭔가 상당히 복잡한 사고 과정을 거쳐간 것 같지만, 막상 저희가 한 일은 주어진 문제 상황을 다각도로 바라보는 것 그 이상 그 이하도 아니었습니다. 풀이 과정도 막상 계산하고 쓸 건 별 게 없죠. 이게 미적과 비교했을 때 기하의 엄청난 장점이라고 생각합니다.
다만, 주어진 상황을 3D 모델링 마냥 머리에서 빙글빙글 돌려가면서 관찰하는 것이 부담된다면, 권하기 힘든 과목인 것 같습니다. 장단이 명확하죠.
(위 풀이과정을 따라오시면서 요리보고 조리보고 알 수 없는 둘리 둘리 하셨다면 기하런은 지양하시는 게 좋습니다. 뭐 당연한 얘기를 이러고 길게 써 놨냐 하신다면 표점 vs 안정 1을 두고 잘 저울질하셔서 현명한 선택을 하시길 바랍니다.)
사실 이제까지 기하 문제의 해설은 그림 1개, 약간의 계산, 답으로 이루어진 것이 가장 아름다운 해설이라고 생각해 왔었습니다. 그러다 문득 그 아름다움에 남들이 공감할 수 없다면, 과연 그것이 진정으로 아름다운 것일까 라는 생각이 들었고, 논리 과정을 자세히 풀어서 써 본 칼럼을 작성하게 되었습니다.
기하를 사람들이 막연히 어려워하는 이유 중 하나가, 잘하는 사람들이 풀어둔 풀이에서 "도통 어떤 흐름으로 사고가 진행되었는지를 읽어낼 수 없다"인 것 같습니다. 그래서 앞으로도 종종 위와 같은 칼럼들로 찾아뵐 예정입니다.
"기스퍼거 저 놈의 머릿속은 도대체 어떻게 생겨먹었는가"에 대한 궁금증이 있으셨던 분들은 한 번씩 들러주시면 감사할 것 같습니다.
미적, 공통 관련 칼럼도 하고 싶은 이야깃거리가 생기면 잘 정리해서 들고 와보도록 하겠습니다.
긴 글 읽어주셔서 감사드립니다.
(좋아요와 팔로우는 사랑입니다. 이 사람이 더 많은 칼럼을 쓸 원동력이 됩니다!)
0 XDK (+1,000)
-
1,000
-
오랜만에 잠실 6
히히
-
판타지 애니/웹툰 잘알 찾읍니다 내용가지고제목찾아주실분 12
제가 보던거 설정만 기억나고 제목이기억안나서못찾겟음.. 사람마다 타고나는 마력실?의...
-
저격합니다 5
크아아악!!!
-
학교마다 다른가..아
-
2인가
-
ㅈㄱㄴ
-
사랑할게요♡♡!!!!!
-
저 귀여워요? 11
아니라고 하면 화낼 거임요
-
언매미적화2지2 4
만점받기만 하면 카의 가능??
-
한번 해보고 싶었어
-
황리비티비 숭배해야만해 22
대황리비티비
-
심각한가요? 10
173 48 남자에요
-
우리 부모님은 어렸을 때부터 학용품 하나를 사주더라도 싸구려는 절대 안 사줬고...
-
美하원서 '한국전쟁 종전선언·평화협정 촉구' 법안 발의 2
미국 하원에서 한국 전쟁 종전과 평화협정 체결을 촉구하는 법안이 발의됐다....
-
새터 후기 8
숭뽕이 ㅈㄴ 차오름 나는 자랑스러운 숭실대 학생이다!! 숭실숭실~~
-
아니 소름이 아니고 당연한게 아님이 아니고
-
외고 중퇴 ㄷㄷ
-
커리큐럼에서 제일 첫단계 입문강의인데 노베는 건너띄면안되죠??? 걍 패스하고...
-
따듯하다 0
봄인데 완전
-
안녕하세요 치과의사만의 커뮤니티 그 이상, 모어덴입니다. 치과대학&치전원 등록...
-
ㅇㅈ 1
여기서 잘거임 ㅅㄱ 집 못가겠어
-
크윽... 틀딱 왤케 끈질겨...
-
수능일반전형 4
왜 내신을 묻힘? 수능이면 100% 수능으로 뽑아야지 공교육 들먹이는거 개짜침
-
작년 아폴로 시즌2 있는데 풀까? 아니면 걍 딴거할까 2
아폴로 시즌2 좋음뇨?
-
1. 완자 생1 1학기 범위 끝내기 2. 뉴런 미적 나머지 다 풀기 3. 자이스토리...
-
5월 전까지 휴릅 15
오늘 16:00부터 시작 어길 시 싸이버거 세트 추첨해서 3개 뿌림
-
메디컬 아님
-
공통 프메 듣고있고 미적은 다른 쌤 들어보고싶은데 메가패스가 일단 없기도 하고...
-
친구들이랑 다 떨어졌어요ㅠㅠ
-
펨코 섭폭뭐냐 1
돌아와라
-
뉴런 스블 1
뉴런듣다가 스블로 갈아타려고 ot들어봤는데 뉴런은 실전 스킬같은걸 알려주는...
-
어케됨요 문과랑 똑같나?
-
진로선택 C이면 많이 불리할까요
-
사문 실수들 유입은 맞는데 정법 고임 역사, 지리 1컷 높음, 표점이슈 윤사 말장난...
-
틀딱기출 냄새나서 못먹겟서요... 상햇잔아... 닭장이잔아....
-
또 가는구나 1
옵생이 쓸데없이 길면 이게 단점임
-
P/F 이 아닌건가요??? 요번수능에서 전체 한개틀리고도 면접죽써서 연의탈락됬단글을 봤네요
-
앞에서 간단히 소개를 하면 서울대 경제학부 25학번 24수능 48점 25수능 50점...
-
9호선도 지옥이다ㅜㅠㅜ
-
선착순 6명 만 덕 15
-
ㅅㅂ ㅈ됬다 2
몸무게 앞자리가 +1됨 오늘부터 다이어트
-
인연이 교차해서 나가는 거겟지.. 정이 많은 F라 그런지 참 본인은 탈릅할때 장문의...
-
이 시대의 인재를 양성하는곳 같은 의미임?? 뭔가 중간에 "의"가 빠지니까 왤케...
-
살려주세여 4
속 ㅈㄴ 뒤집어진거같은데 토는 안나오고 지금 미칠거같아요 숭실대에서 집까지 내가 갈수있으려나ㅡㅡ
-
어캄?? 확통런데 미적해버린거 같은데
-
으아구ㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜ
-
갑자기 뭔가 슬픔
-
수학이라면 몸이 배배꼬여서 진로까지 바꾼 사람인데 집에서 시발점 완강한적이 없음....
-
크흡 크허어엉 3
미적 뭐부터 하지..... 일단 본인 미적 개몬함 작수 미적에서 28,30틀.......

헉 ㄷㄷ 귀하신 분이 누추한 곳에... 감사합니다!
감사합니다 ㅎㅎ기하칼럼은 좋아요

감사합니다!!기하에 관심은 없지만 동정의 의미로 좋아요
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 아... 슬프지만 감사합니다... :)

이륙ㄱㄱ
감사합니다!
기하 유입 많이 많이 해주세요!!최고로 멋있어지는 방법!!

기하가 진짜 매력 터지고 멋있는 과목이라고 생각합니다. ㅎㅎ
신그저 시호님의 발자취를 걷고 있을 뿐입니다...

이거보고 확통 하기로 했다ㅋㅋㅋㅋ 우리 기하 많이 사랑해 주세요... 감사합니다!
기하해야되나

저희 기하 착해요 안 물어요현역이라 수능 기하치면 공통미적확통기하를 다 해야돼요ㅠㅠ
그럼 이참에 논술로...!
현역 화이팅입니다 ㅠㅠ 할 게 넘 많죠
읽어주셔서 감사합니다!
정성이 들어간 글 잘 읽었습니다 :)
기하 1등급으로서 너무 강추합니다 아주 좋아요
ㅎㅎ 기하가 잘 맞으시는 분들은 정말 편하게 1등급 받아가실 수 있다고 생각합니다

일단 모를 땐 xyz 3방향으로 단면화하기..이것도 아주 큰 도움이 되죠 ㅎㅎ 다음에 관련 내용으로 칼럼을 작성해볼 예정입니다

좋네요좋아해주셔서 감사합니다 ㅎㅎ!
미적러지만 개추

ㅎㅎ 읽어주셔서 감사합니다!
고트잖아 ...그저 "범부"일뿐...
방금정독했는데벽느껴져요
어질어질합니다
ㅎㅎ 열심히 써 봤습니다 감사합니다