미적분 문제 (2000덕)

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첫 풀이 2000덕 드리겠습니다!

(+ 유명한 문제입니당)

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bdfh [1232233]

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JJONAKLOVE♡♡♡ · 968227 · 02/04 18:51 · MS 2020

미분해야겠네

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bdfh · 1232233 · 02/04 18:51 · MS 2023

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하제타。 · 1303135 · 02/04 18:51 · MS 2024

어캐푸는거야

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bdfh · 1232233 · 02/04 18:52 · MS 2023

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올인원 · 1117418 · 02/04 19:15 · MS 2021

a[n] = 2^(1/n²) + 3^(1/n²) + ... 2^(1/n)

∫[1, 2ⁿ] x^(1/n²) dx ≤ a[n] ≤ ∫[2, 2ⁿ+1] x^(1/n²) dx

{1 - 1/(n² + 1)} (2^(1/n + n) - 1) = P[n] ≤ a[n]
≤ {1 - 1/(n² + 1)} ((2ⁿ + 1)^(1/n² + 1) - 2^(1/n² + 1)) = Q[n]

ln(P[n])/n = ln{1 - 1/(n² + 1)}/n + ln{2^(1/n + n) - 1}/n
lim(n→∞) ln(P[n])/n = lim(n→∞) ln{2^(1/n + n) - 1}/n
= lim(n→∞) [ln{2^(1/n + n) - 1}/ln{2^(1/n + n)}] × [ln{2^(1/n + n)}]/n
= lim(n→∞) (1/n² + 1)ln2 = ln2

ln(Q[n])/n = ln{1 - 1/(n² + 1)}/n + ln{(2ⁿ + 1)^(1/n² + 1) - 2^(1/n² + 1)}/n
lim(n→∞) ln(Q[n])/n = lim(n→∞) ln{(2ⁿ + 1)^(1/n² + 1) - 2^(1/n² + 1)}/n
= lim(n→∞) ln{2^(1/n² + 1)}/n + ln{((2ⁿ + 1)/2)^(1/n² + 1) - 1}/n
= lim(n→∞) ln{2^(1/n² + 1)}/n
+ [ln{((2ⁿ + 1)/2)^(1/n² + 1) - 1}/ln{((2ⁿ + 1)/2)^(1/n² + 1)}]
× [ln{((2ⁿ + 1)/2)^(1/n² + 1)}]/n
= lim(n→∞) (1/n³ + 1/n)ln2 + (1/n³ + 1/n)(ln(2ⁿ + 1) - ln2)
= lim(n→∞) (1/n³ + 1/n)ln(2ⁿ + 1)
= lim(n→∞) {ln(2ⁿ + 1)/ln(2ⁿ)} × ln(2ⁿ)/n × (1/n² + 1)
= ln2

lim(n→∞) ln(P[n])/n = lim(n→∞) ln(Q[n])/n = ln2
∴ lim(n→∞) a[n] = ln2

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bdfh · 1232233 · 02/04 19:17 · MS 2023

적분을 이용한 풀이도 있네요ㄷㄷㄷㄷ

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올인원 · 1117418 · 02/04 19:21 · MS 2021

https://orbi.kr/00071716950
위 문제에서 사용했었던 방식으로 풀어봤습니다

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치약치약 · 1361277 · 02/04 20:31 · MS 2024

혹시 정석적인 풀이는 뭔가요?

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bdfh · 1232233 · 02/04 20:33 · MS 2023

적어주신 풀이가 정석적인 풀이입니다 :)

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치약치약 · 1361277 · 02/04 20:35 · MS 2024

아 상합은 2로 해서 조절하나 했는데 그냥 이게 정석이군요. 근데 lim x->inf 저 식은 없어도 풀 수 있지 않나요?

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bdfh · 1232233 · 02/04 20:37 · MS 2023

ln(2^n-1)/n 극한을 가장 쉽게 처리할만한 극한을 주었습니다 :)

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치약치약 · 1361277 · 02/04 20:40 · MS 2024

이런 문제들도 많이 풀면 금방 풀게 될까요? 이거도 처음에 식조작 뻘짓을 하긴 했는데ㅠ푸는 데만 거의 20~30분 들어서

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bdfh · 1232233 · 02/04 20:44 · MS 2023

'경시'용 문제이기 때문에 오래 걸릴수 밖에 없는 문제라 봅니다! 경시용 문제의 특징이 '발상'이기 때문에 오래 걸린다고 해서 너무 신경쓰실 필요는 없을 듯 합니다!

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