[박수칠] 함수의 극대·극소와 미분계수

안녕하세요~ 박수칠입니다 ^^

지난 번에 올렸던 ’극대·극소의 새로운 정의 이해하기’에 

많은 관심을 보여주셔서 감사합니다.

( http://orbi.kr/0007982857 )

1, 2월에 올린 칼럼 가운데 가장 최근 것임에도 불구하고

조회수와 좋아요가 가장 많이 나왔어요.

(오르비 페북에 링크됐던데 그 덕분일 수도 있겠네요.)

그런데…

칼럼을 읽은 분들의 반응을 보니

살짝 우려되는 부분이 생겼습니다.

칼럼을 쓴 의도는 ‘극대·극소의 새로운 정의를

다양한 함수에 적용해서 깊이 있게 이해해보자’였는데 

생각과 다르게 새로운 정의가 어렵다는 반응이 많네요.

이것은 극대·극소의 새로운 정의(이하 확장 정의)가

다양한 함수에 적용 가능하기 때문에 생긴 착시라 봅니다.

미적분1, 2 교과서나 수능/모평 기출을 보면 

극대·극소 문제는 연속이면서 함숫값이 일정한 구간이 없는

함수를 대상으로 하고 있습니다.

이 경우로 한정해서 확장 정의를 적용하면

주변보다 높은 봉우리는 극대점, 주변보다 낮은 골짜기는 극소점

이라는 해석이 가능하지요.

알고 보면 쉽습니다 ^^

극대·극소 확장 정의는

다양한 함수에 적용 가능하다는 것 외에

또 하나의 장점이 있습니다.

바로 함수의 극대·극소와 미분계수 사이의 관계를

수식적으로 쉽게 연결시켜준다는 점이죠.

바로 확인 들어가야죠? ^^

미분가능한 함수 y=f(x)가

x=a에서 극대라고 가정합시다.

그럼 극대·극소의 확장 정의에 의해

어떤 열린 구간 I에 속하는 모든 x에 대하여

f(a) ≥ f(x)가 성립합니다. (단, a ∈ I)

따라서 f(x)-f(a) ≤ 0가 되고,

x=a에서의 좌미분계수와 우미분계수는

다음을 만족합니다.

(∵x→a-일 때 x-a < 0, x→a+일 때 x-a >0)

함수 y=f(x)가 x=a에서 미분가능하므로 f’(a)가 존재하고,

위 부등식으로부터 f’(a)=0임을 알 수 있습니다.

미분가능한 함수 y=f(x)가 x=a에서 극대일 때

f’(a)=0이라는 사실이 쉽게 증명되죠?

미분가능한 함수 y=f(x)가 x=a에서 극소일 때

f’(a)=0인 것도 같은 방법으로 증명할 수 있습니다.

그리고 다음과 같은 명제를 만들 수 있습니다.

위 명제는 미분가능한 함수 y=f(x)가

함숫값이 일정한 구간을 가질 때도 적용됩니다.

함수 y=f(x)가 닫힌 구간 [c, d]에서 함숫값이 일정할 때

열린 구간 (c, d)에서는 극대인 동시에 극소,

x=c, d에서는 극대 또는 극소라는 사실 아시죠?

함수 y=f(x)가 구간 (a, b)에서 미분가능하다면

닫힌 구간 [c, d]에서 f’(x)=0이기 때문에

위 명제가 성립함을 알 수 있습니다.

그리고 함수의 극대·극소와 미분계수의 관계에서

주의할 점이 두 가지 있는데…

첫 번째는

’함수 f(x)가 x=a에서 미분가능할 때

x=a에서 극대 또는 극소면 f’(a)=0이다’ 는 참이지만

그 역인 ’f’(a)=0이면 함수 f(x)는 x=a에서 극대 또는 극소다’는

거짓이라는 점입니다.

미분계수가 0이지만 극점이 아닌 경우가 있기 때문이죠.

두 번째는

함수의 극대·극소와 미분계수를 연결하다 보면

미분불가능한 점에서 극대·극소가 나타나지 않는다고

착각하기 쉽다는 점입니다.

하지만 아래와 같이

미분불가능하지만 극대 또는 극소인 경우가 있기 때문에

주의해야 합니다.

마지막으로 한 가지 더!

함수의 최대·최소는 극대·극소와 정의가 비슷합니다.

단지 ‘어떤 열린 구간 I’ 대신 ‘정의역’이 자리할 뿐이죠.

그리고

‘미분가능한 함수 y=f(x)가

x=a에서 극값을 가질 때 f’(a)=0이다’를

증명하는 과정에서 극대·극소를 최대·최소로 바꾸면

롤의 정리에 대한 증명이 됩니다.

볼까요?

i) f(x)가 상수함수일 때

f’(x)=0이므로 c의 값은 열린 구간 (a, b)에 속하는 모든 실수입니다.

ii) f(x)가 상수함수가 아닐 때

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이므로

최대·최소 정리에 의해 이 구간에서 최댓값 또는 최솟값을 갖습니다.

① 함수 y=f(x)가 x=c (a < c < b)에서 최대일 때

최대·최소의 정의에 의해

정의역에 속하는 모든 x에 대하여

부등식 f(a) ≥ f(x)가 성립합니다.

따라서 f(x)-f(a) ≤ 0가 되고,

x=c에서의 좌미분계수와 우미분계수는

다음을 만족합니다.

(∵x→c-일 때 x-c < 0, x→c+일 때 x-c >0)

함수 y=f(x)가 x=c에서 미분가능하므로 f’(c)가 존재하고,

위 부등식으로부터 f’(c)=0임을 알 수 있습니다.

② 함수 y=f(x)가 x=c에서 최소일 때

(같은 방법이므로 생략)

오늘은 여기까지 입니다.

긴 글 읽어주셔서 감사드려요~ ^^

[알림] 미적분1-다항함수의 미분법 부교재 업로드 되었습니다.

 다음에 작업할 부교재는 미적분2-미분법입니다.