[박수칠] 놓치기 쉬운 개념/유형 3가지 (3편)

6월 평가원 모의고사가 얼마 남지 않았습니다.

준비는 잘 하고 계신가요? ^^

학습에 조금이라도 보탬이 될 수 있도록

순열과 조합 단원에서 쓸 수 있는 몇 가지 접근법을 정리했으니

시간날 때 천천히 읽어보시기 바랍니다. (어려운 내용은 없습니다 ^^)

(1) 경우의 수를 셀 때, 실험이나 관찰의 결과를 다양한 관점에서 표현해보자.

다음은 2016학년도 수능 6월 모평 B형 9번 문제입니다.

문제를 풀기 위해 연필 5자루를 a, b, c, d, e로 두고,

학생 A, B, C, D에게 모두 나눠준 결과를 순서쌍

로 표현하면 학생 1명이 2자루 이상의 연필을 받는 경우를 나타내기가 어렵고,

순서쌍의 개수를 세는 것도 복잡합니다.

(예를 들어 학생 A, B, C, D가 각각 3자루, 1자루, 1자루, 0자루의 연필을 받는 것을

 순서쌍 (3, 1, 1, 0)으로 표현하면 학생 A, B, C가 어느 연필을 받는지를 따로

 고려해야 합니다.)

그렇다면 순서쌍을 만들 때, 학생을 기준으로 하지 말고,

연필을 기준으로 해봅시다.

이를 위해 연필을 나눠준 결과를 순서쌍 

으로 두고, 몇 가지를 나열하면 다음과 같습니다.

    (A, B, C, D, A), (A, A, B, B, B), (A, A, A, A, A), …

따라서 연필을 나눠주는 방법의 수는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

  연필 a를 받을 수 있는 학생 4가지,

  연필 b를 만들 수 있는 학생 4가지,

                         …                     ,

  연필 e를 받을 수 있는 학생 4가지이므로

  곱의 법칙에 따라 4⨉4⨉4⨉4⨉4=1024

그럼 한 문제 더 봅시다.

다음은 2005학년도 수능 가형 이산수학 28번 문제입니다.

순서쌍 (A, B)의 개수를 세기 위해

가능한 집합 A, B부터 몇 가지 나열하면 다음과 같습니다.

여기서 집합 { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }의 원소 가운데 몇 개는 집합 A에 속하고,

다른 몇 개는 집합 B에 속하며, 어느 집합에도 속하지 원소가 있을 수도 있습니다.

집합 A 또는 집합 B가 공집합일 수도 있죠.

이처럼 순서쌍을 만든 결과를

두 집합 A, B가 1~6 가운데 어느 것을 원소로 갖는지로 표현하면

집합 A의 각 경우마다 집합 B의 경우를 따져야 하므로

경우의 수를 세는 것이 복잡해집니다.

그럼 순서쌍을 만든 결과를 집합 대신 원소를 기준으로 표현해봅시다.

무슨 얘기냐 하면

두 집합 A, B가 1~6 가운데 어느 것을 원소로 갖는지를 표현하는 대신,

원소 1~6이 어느 집합에 속하는지로 표현하자는 것입니다.

앞에서도 말했다시피

1~6 중에는 집합 A, B 어느 쪽에도 속하지 않는 것이 있을 수 있으므로

집합 A∪B의 여집합을 집합 C로 두면 1~6이 속하는 집합을

다음과 같이 표현할 수 있습니다.

그렇다면 순서쌍 (A, B)의 개수는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

  1이 속할 수 있는 집합이 3가지, 

  2가 속할 수 있는 집합이 3가지,

                       …                  ,

  6이 속할 수 있는 집합이 3가지이므로

  곱의 법칙에 따라 3⨉3⨉3⨉3⨉3⨉3=729

(2) 수형도를 작성할 때 불규칙적인 부분은 왼쪽으로 몰아준다.

다음은 2009학년도 수능 6월 모평 가형 이산수학 28번 문제입니다.

조건 (가)~(다)를 보면

문자 a, b, c가 들어갈 수 없는 위치가 주어져 있습니다.

따라서 a, b, c의 위치에 따라 경우를 나누면서 다음과 같이 풀 수 있죠.

세 문자의 위치가 제한되다 보니 구분해야 할 경우가 너무 많아 보입니다.

이럴 땐 차라리 수형도를 그리는 편이 속편할 수도 있죠.

이때, 수형도를 

와 같이 작성하면 a 또는 b 또는 c가 들어갈 수 없는 위치인

첫째 자리, 셋째 자리, 다섯째 자리가 띄엄띄엄 놓여있기 때문에

전체적으로 불규칙적인 모양을 가지면서 문자열의 수를 세는 것이 복잡해집니다.

하지만 첫째 자리, 셋째 자리, 다섯째 자리를 수형도의 왼쪽으로 몰아주면

다음과 같이 오른쪽이 규칙적인 모양을 가지면서 문자열의 수를 세는 것이 쉬워집니다.

따라서 모든 문자열의 개수는 2⨉14=28입니다.

이처럼 대상을 나열할 때 위치를 바꿔서 수형도를 작성하는 방법은

다음 문제와 같이 특정 대상끼리 이웃하지 않아야 하는 상황에서는

헷갈릴 수 있으니 주의해야 되겠죠?

(참고로 2009학년도 수능 6월 모평 나형 25번 문제입니다.)

(3) 같은 것이 있는 순열의 수는 조합으로도 셀 수 있다.

서로 다른 n개의 대상 가운데 같은 것이 각각 p, q, … , r씩 있을 때,

n개의 대상 전부를 한 줄로 나열하는 순열의 수는 다음과 같습니다.

(단, p + q + … + r = n)

예를 들어 10개의 문자 a, a, a, a, b, b, b, c, c, d를

한 줄로 나열하는 순열의 수는 다음과 같습니다.

그런데 이 순열의 수는 다음과 같이 조합으로도 셀 수 있습니다.

이처럼 같은 것이 있는 순열의 수를 조합으로 세는 방법을 알아두면

특정 대상의 상대적인 위치가 정해진 순열 문제에

보다 쉽게 접근할 수 있습니다.

다음 예제를 봅시다.

이 문제를 같은 것이 있는 순열로 접근하면 다음과 같습니다.

그런데 주어진 문제로부터 같은 것이 있는 순열을 바로 떠올리기는 어렵고,

세 자음 D, J, N을 D, D, D로 통일하는 과정이 필요합니다.

하지만 조합을 이용하면 별다른 과정 없이

순열의 수를 바로 구할 수 있습니다.

오늘은 여기까지입니다.

6평 착실하게 준비하시고, 좋은 결과 얻으시길 바랍니다 ^^d