[박수칠] 분산을 (편차)²의 평균으로 계산하는 이유
게시글 주소: https://a.orbi.kr/0008124321
오늘은 어떤 주제로 글을 쓸까 고민하다가 예전에 봤던
조관 선생님의 포스팅 ( http://orbi.kr/0008006413 )
과 관련된 내용을 써보기로 했습니다.
평균, 분산, 표준편차를 열심히 공부한 학생이라면
한 번 쯤은 해봤을 고민이죠.
——————————————————————
왜 분산은 (편차)²의 평균으로 정의될까?
(편차의 절댓값)의 평균으로 정의하면 안되나?
——————————————————————
(변량)-(평균)으로 정의되는 편차는 변량이 평균보다 큰지, 작은지
그리고 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 지표입니다.
그러다 보니 산포도 계산에 편차를 쓰는 것은 지극히 당연한 일이죠.
하지만 편차의 합은 0이기 때문에 편차의 평균 또한 0입니다.
이 때문에 편차를 제곱해서 0 이상의 값으로 바꾼 다음
평균을 계산하게 되고, 이를 분산으로 정의합니다.
여기서 편차의 제곱 대신,
편차의 절댓값을 쓰면 안될까요?
이를 알아보기 위해
세 변량 a, b, c (단, a < b < c)의 대푯값을 x로 두고
(편차)²의 평균과 (편차의 절댓값)의 평균을 조사해봅시다.
(1) (편차)²의 평균은 다음과 같습니다.
그리고 분자가 x에 대한 이차식임에 주목해서
완전제곱꼴로 변형하면 다음과 같습니다.
따라서 (편차)²의 평균은 일 때
즉, 대푯값 x가 a, b, c의 평균일 때 최소가 됩니다.
(2) (편차의 절댓값)의 평균은 다음과 같습니다.
그리고 분자가 일차식의 절댓값의 합임에 주목해서
분자로 만든 함수의 그래프를 그리면 다음과 같습니다.
따라서 (편차의 절댓값)의 평균은 x=b일 때,
즉 대푯값 x가 a, b, c의 중앙값일 때 최소가 됩니다.
대푯값 x가 평균일 때 (편차)²의 평균이 최소,
대푯값 x가 중앙값일 때 (편차의 절댓값)의 평균이 최소인 것은
n개 의 변량 에 대해서도 마찬가지입니다.
(3) (편차)²의 평균
따라서 (편차)²의 평균은 일 때,
즉 대푯값 x가 의 평균일 때 최소가 됩니다.
(4) (편차의 절댓값)의 평균
i) n이 홀수일 때
일 때 최소
ii) n이 짝수일 때
x가 구간 에 속할 때 최소
i), ii)로부터
(편차의 절댓값)의 평균은 또는 일 때
즉, 대푯값 x가 의 중앙값일 때 최소가 된다고 할 수 있습니다.
따라서 (편차)²의 평균은 대푯값이 평균일 때 최소이므로
평균 에 대한 분산을
으로 정의하는 것이 자연스럽다는 것을 알 수 있습니다.
또한 변량 의 중앙값이 일 때
(편차의 절댓값)의 평균
를 '평균편차'라고 하며, 임금 근로자 연봉 분포처럼
변량의 분포가 한쪽으로 치우친 경우에 산포도로 많이 사용합니다.
그리고 대푯값/산포도로 평균/분산(또는 표준편차)을 사용하면
중앙값/평균편차의 조합보다 공식의 변형이 자유롭다는 장점이 있습니다.
덕분에 분산을 { (변량)²의 평균 } - (평균)²으로 계산할 수도 있고,
미분/적분이 상대적으로 쉽죠.
추가적인 장점이 또 있는데
그건 제가 이해를 못해서...
[참고 자료] 기초통계학의 숨은 원리 이해하기 (김권현 저)
[알림] 박수칠 수학 미적분1-적분법 단원 부교재가 업로드 되었습니다.
본교재 문제에 수능/모평/학평 기출 54문제가 추가되었습니다.
다음에 작업할 단원은 미적분2-적분법입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
9평 84점이고 수능 높3~2등급이 목표예요 어삼쉬사 엔티켓 12 커넥션 이렇게 풀었습니자
-
도표 어렵다고 출제를 안 한다네요..? 다른 학교는 어떤가요?
-
캬캬
-
ㅤ 3
1 2306 2311 2406 2409 2 2309 2411 3 2509 1...
-
2024년 9월 4주차 韓日美全 음악 차트 TOP10 (+9월 3주차 주간VOCAL Character 랭킹) 1
2024년 9월 3주차 차트: https://orbi.kr/00069333019...
-
너무 어좁처럼 나온 거 같은… 그정돈 아닌데
-
남학생이 얼마나 있을까요? 졸업후 진로는 어떤가요? 혹시 들으신 얘기들 올려주시면 참고 하겠습니다.
-
이거 소아성애 영화임? 원작소설은 소아성애자들 보라고 쓴 책도 아니고 걍 미친놈...
-
제철초-제철중-제철고 풀커리 타려다가 부모님의 농어촌 선택으로 근처 다른 중학교...
-
아 안되겠다 4
한번 삭 하고 와야지 우울해져서 안되겠다
-
국어가 사후적 풀이 해설 보는거 효과 젤 떨어지는듯 2
결국 시험보다 당황타고 하다보면 원래 독해 습관으로 돌아가기 젤 쉬운 과목인듯...
-
물2장점 7
한국사끝나고 처음보는 과탐이 지구라서 머리가 아주클린한상태로 지구시험을 보기때문에...
-
건동홍 중에서 압도적으로 많은듯
-
홍대 인문 오후 1
문제 기억 나시는분??
-
0.5 꼬기 14
-
맛 때문에 항상 정품사는데
-
아니 필적 확인란 보다가 무의식적으로 수퍼노바 부르는 카리나 떠올라서 뭐지? 하고 있었는데 ㄷ.ㄷ
-
영어 80받는 방법으로 맞춰야할 유형이 어떤게있을가요? 3
영어 80받는 방법으로 맞춰야할 유형이 어떤게있을가요? 1. 듣기는 다...
-
JUN OR NOT 이건 진짜 반박 안 받음
-
아.
-
y = (1/2)^x 함수를 90도 회전시킨 함수가 왜 y = log2x 인지 궁금하네요
-
원래 사설이랑 평가원 점수가 비슷하게 나왔는데 이상하게 올해는 사설 점수가 너무...
-
이때까지 극T로만 살았는데 F 비율이 높아진거같음 재수 시작하고 사람한테 받는...
-
간만에 ㅇㅈ 7
얼마 전에
-
제 집이 포스텍 바로 옆이라 대학생 형 누님들 많이 보이는데 여성분들은 다 이쁘신듯요 ㄹㅇ
-
인논은 선행학습영향평가 벅벅하면 됐는데 과탐은 그러면 안 될 것 같아요
-
소주에 갇혀 막 갇혀
-
공부합시다 6
김인직입니다
-
글이 길고 빽빽해 한 구절 마다 계속 생각해야해 안알려준거 추론도 해야해 쉽게...
-
진학사 합격 예측 1등이네 ㅋㅋ..ㅋㅋㅋㅋㅋ…ㅋㅋㅋ 수능 잘봐야겠다
-
근데 화학하시는 분들 12
혹시 김준 어떻게 생각하심 오히려 안좋아하는사람도 많든뎅
-
수학 서바 2
서바 1회나 16회나 퀄차이는 없나요? 먼저 나왔다고 안 좋거나 그런 건 아닌가요?
-
제 최애 과사 보고 가세요~ 냥냥스럽잖아 빨리 보고가라고
-
나라면 의대도 버리고 감
-
김종익 커리타시는분들 어떻게 하시나요!
-
공복 7시간째라 좀 배고픈 상태.. 아수라 하루치 밀려서 오늘 day3 풀어야하고...
-
다들 나보다 훨씬 잘해 ㅠㅠ
-
살려줘요잉 ㅜ.ㅜ
-
아 태어난 김에 음악일주 근데 바이럴 실패했나 태계일주보다 시청률 현저히 떨어지네
-
대깨경희대인 이유 22
극호감 1. 인논 스타일&난이도 최적 2. 논술에 과학을 받아줌 3. 논술이 수능...
-
아까 38일동안 백분위 25 올릴수 있냐는 글보고 올림 21
"가능"
-
아님 걍 3부터 파이널까지 살까
-
논술 특 2
일단 나는 못붙음..ㅠ
-
야, 대학. 7
(원서) 넣을게. 흐윽... 이 정도면... 합격인걸♡
-
이감 이새끼들은 화작 어렵게는 절대 안내네
-
ㅈㄱㄴ
ㅋㅋㅋㅋ 오르비스티커 너무 귀여워여
그러니까요... 진짜 예쁘게 잘나왔어요.
그 외에도 확률변수에 대한 적률 적률생성함수 중심적률등과도 관련이 있지 않을까 생각됩니다.
물량공급님 외계어도 쓸 줄 아셨군요.
좀 배워야겠다...
적률생성함수라는 마법의 도구가 있더라구요
찾아보니 학부 확통 과목에서 배웠던 함수네요.
지금 보니 뭔 얘긴지 하나도 모르겠음 ㅎㅎ
최소점이 평균값이기 때문에 제곱을 쓴다는 건 결과론적인 해석이 아닐까요?
제곱을 써야만 하는 수학적 필연성이랄지, 이런게 있으면 좋을 것 같은데요
예를 들어, 정규분포 함수의 식에는 제곱을 이용한 표준편차가 들어가죠. 만약 표준편차를 다르게 정의했을 때 같은 식을 유도할 수 있는지, 그렇지 않다면 왜 그럴 수밖에 없는지 같은 것들 말입니다
본문의 내용은 결과론적인 해석이라기 보다
{ (변량-평균)²의 합 } / (변량 개수)를 분산으로 정의한 이유의
일부라 할 수 있습니다.
근본적인 이유로 들어가자면
{ (변량-대푯값)²의 합 } / (변량 개수)를 최소로 하는 대푯값이 평균이고,
이 평균을 모집단과 표본의 대푯값으로 쓰면 모평균의 가장 합리적인 추정치로
표본평균이 똭~ 나타납니다.
이 부분을 설명하려면 '최대우도추정법'이라는 걸 알아야 하는데
여기서 굳이 설명할 필요도 없고, 저도 잘 모르거든요 ^^;
그래서 '고등학교 수준에서 이 정도 설명이면 충분하겠다'
싶은 선에서 끝냈습니다.
이런 것 보면 아무 호기심 없이 그랬구나...그렇구나...하고 받아들이는 제 자신이 다행스럽네요. 문과여서 여태 통계문제 풀면서 저런 증명이나 원리를 몰라서 틀린 적도 없고 개이득
몰라도 되는 건 이과도 마찬가지입니다 ^^
그냥 궁금해할 수험생들을 위해 정리한거예요~
loss funtion?
손실함수라...
6시그마 교육받으면서 배웠던 건데
갑자기 왜 나올까요? ㅎㅎ
경영쪽 아니고 경제학부 통계시간에 교수님께 배운건데..
추정량과 모수의 차이를 나타내는 함수를 loss function 이라 하지않나요,,? 이거 배우면서 글에 나온 내용도 같이 알게되고 했던 기억이 나서요~
아~ 용어만 같고, 정의가 다른가 봅니다.
제가 배웠던 것은 품질관리쪽에서 손실 비용 계산에 쓰는 함수거든요.
이유식님이 얘기하신 손실함수까지는 공부를 못해봤어요 ^^
저도 맛보기정도만 한 비루한 학부생입니다 ㅠ
댓글 달아주셔서 감사합니다.
헐 신기하네요 이거 궁금했었는데 감사해요ㅋㅋㅋ 오 신기하다 맨날 하필 왜 제곱일까....이랬었는데
제가 기다렸던 반응이 드디어 나왔군요.
감사합니다 ㅎㅎ
절대값을 왜 안쓸까 했는데 쓰는데가 있기도 하군요
그러게나 말이에요.
저도 참고자료 보면서 처음 알았어요~
조만간 책나오면 살건데 박수칠님 글 너무 도움됩니다 모든글 지우지 말아주세요ㅠ
안지울테니 걱정마세요~ ^^