자작 수열 정오판별
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자작이라곤 해도 여기저기 줏어들은 아이디어를 살짝 바꿔 만든 문제입니다.
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아.... ㄷ 인가요? 이런 형식의 문제는 가르치기 너무 힘들어요....^^;;;
문제에 오류가 있을 수도 있지만 우선 아닙니다.
앗.... ㄷ.이 아니라 ㄱ, ㄷ이 참이네요. 4번. ㅋㅋ 왜 ㄱ을 빼먹었지? ㅠㅠ 이도 아님.... 모릅니다. 이런 형식의 문제는 풀고서도 항상 불안해요.ㅠㅠ
그것도 아닙니다... 의외로 엄청난 함정이 있는 문제에요^^;
아 ㄱ 하나만 맞는 거 아닌가요..ㅎ
ㄴ은 1 , -1/2 , 1/3 , -1/4 , 1/5 , ... 과 같은 수열 생각해보면 반례이고
ㄷ은
a_n은 1 , -1, 1/루트2 , -1/루트2 , 1/루트3 , -1/루트3 , ...
b_n = -a_n으로 잡으면 (즉 -1 , 1, -1/루트2 , 1/루트2 , -1/루트3 , 1/루트3 , ...) 반례가 되는 것 같습니다.
(ㄷ 조건에서 lim a_n b_n =0 은 필요없는 것 같아요~ 나머지 두 조건에서 자동으로 얻어지는..)
슈도우님도 문제 제조 전문가이신 거 같은.. 그리고 그 때 그 행렬 문제 n * n 으로 확장해서 해보니 재밌는 결과가 나오는 거 같아요. 한 번 글을 올려야 하는데 계속 못 올리고 있네요ㅎ
ㅋㅋ ㄷ.반례가 완벽하네요! 옛날 면접 준비할 때 저 반례를 듣고 기겁했던 기억이...
저는 그때 그 행렬문제에서 2차 한정으로 일반적인 경우에 대해 생각해 본 적이 있는데 너무 이상한 풀이가 되버려서 아직도 맞나틀리나 미심쩍은 채로 남겨두었는데, 나중에 syzy님께 한 번 검증받고 싶네요ㅎㅎ
제가 검증해드릴 수 있는 실력이 될지 의문이지만 가능하다면 당연히 해드려야죠ㅎㅎ
ㄴ은 교대급수판정법으로 살펴보면 반례가 맞지만 고등학교 수준에서 반례라는 것을 어떻게 알 수 있을까요?
우선 대우명제를 생각하고, 수열 {1/n} 이 극한은 수렴하나 급수는 발산하는 성질에서 힌트를 얻어 {1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3 ...}이란 수열을 반례로 제시하면 됩니다.
fantas님께서 드신 예시가 고등학생들이 이해하기에 좀 더 쉬울 것 같네요. 부분합을 잘 이용하면 고등학생들이 풀 수 있을지도..
제가 위의 질문을 한 이유는 syzy님께서 제시하신 1-1/2+1/3+... 라는 급수가 수렴한다는 것을 고등학생이 실제로 보이기 어렵다고 생각했기 때문입니다. (극한값은 ln2라고 하네요.)
^^;;; 그렇군요. 배웠습니다. pseudofantas도 syzy님도 대단하세요. ^^
아닙니다..^^ 저야말로 틀릴 때도 많고, 또 먼지님 풀이 보면서 많이 감탄하는데요~ 좋은 문제 많이 투척해주셔서 고마워요!!
먼지바람님도 항상 멋진 풀이 감탄하고 있습니다!ㅎ
근데 ㄷ 보기에서 lim (a_n 곱하기 b_n) =0 이다는 굳이 쓸필요 없을거같아요
왜냐면 그 뒤에 무한급수 두개가 수렴한다는것만 으로도 lim a_n =0 lim b_n =0 두개가 자동으로 얻어져서요 ㅎ
좋은 지적 감사드립니다ㅎ
ㄱ은 어떻게 푸나요?
ㄱ은 입실론델타(대학과정)으로 하면 바로 풀수있는데 고딩수준에서는 명확하게 하긴힘들것같네요.
| An^2 - 1 | = | |An| - 1 | * | |An| + 1 | < e
| |An| - 1 | < e / ( | |An| + 1 | ) < e 이게 핵심인듯 e는 매우작은양수이고 n은 충분히 큰수
감사합니다. 고등학교 수준의 풀이를 생각해 보고 있는데 잘 안되네요 _-;;