재미없는 사실
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수학에서 역과정은 대개 안 되는 경우가 많다.
이를테면, Riemannian metric이 주어지면 자연스럽게 connection이 하나 주어지게 된다.
그런데 만약 반대로 torsion free connection이 주어져 있다고 하면 그에 대응되는 metric이 있을까?
일반적으로는 그렇지 않다(closed geodesic을 갖는 connection에 대해 대응되는 metric이 존재한다고 가정하면 Christoffelsymbole의 정의식을 ODE로 바꾸어 적절한 경우에 모순임을 이끌어낼 수 있다).
또 connection이 주어지면 자연스럽게 manifold 위의 geodesic의 집합이 주어지는데, 반대로 그 geodesic의 집합이 일치할 때 주어진 두 connection이 일치할까?
이 또한 참이 아니다(lie group에서 left invariant vector field X,Y에 대해 D1_X(Y)=1/2[X,Y], D2_X(Y)=0으로 두면, D_1과 D_2는 다르지만 geodesic들의 집합은 일치한다).
쓸데없는 소리였는데 요컨대 “그 역이 성립한다”는 진술은 수학적으로 매우 중요한 의미를 갖는다는 것이다.
고등학교 수학을 처음이 아니라 두 번째 이상 공부하고 있다면 교과서를 읽을 때 이런 사소한 문장과 단어 하나하나를 음미하며 무슨 의미일까 한번 생각해 보도록 하자.
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"인버터블"