우주론 강의 2. 우주의 밀도와 우주 모형
게시글 주소: https://a.orbi.kr/00064022385
저번 글...
1. 프리드만 방정식
프리드만 방정식은 우주가 등방성과 균질성을 만족할 때 유도되는, 우주를 지배하는 방정식이라고 할 수 있다.
G는 만유인력 상수, rho는 밀도, P는 압력, c는 광속, H는 허블 상수, a는 척도인자이며 무차원이다. 또, k는 우주의 곡률을 나타내는 수이며 k=0이면 평탄한 우주, k > 0이면 닫힌 우주, k < 1이면, 열린 우주이다. 이때, k의 단위는 /m^2 이다.
혹은 로버트슨-워커 계량에서 r을 무차원으로 두고, a를 m단위로 쓸 수도 있다. 이런 경우에는 k는 –1, 0, +1 중 하나의 값을 가지며, 무차원의 수가 된다.
2개의 식을 프리드만 방정식이라고 한다. 우리는 이 중 첫 번째 식을 활용하여 몇 가지 우주 모형을 살펴볼 것이다. 당연하지만, 프리드만 방정식은 모두 등방성과 균질성을 가정하므로, 이로부터 유도되는 우주 모형들은 모두 허블 법칙이 성립한다.
2. 등속 팽창 우주
첫 번째 식에 a^2을 곱하면 다음을 얻는다.
이 문단에서는 편의상 로버트슨-워커 계량에서 r을 무차원의 수로, a를 m단위로 생각하겠다. 이러면 k는 –1, 0, 1 중 하나의 값을 가져야 하니, 우변의 두 번째 항은 상수가 된다. 이제 등속 팽창하는 우주이므로 da/dt 는 상수이다. 좌변이 상수이기 위해서는 rho = 0이어야 할 것이다. 왜냐하면, 우주의 밀도가 0이 아닐 경우, 우변의 첫 번째 항은 우주의 크기에 따라 값이 바뀔 것이며, 우변이 상수가 되지 않는다. 따라서 이 우주는 우주에 아무것도 없는, 텅 빈 우주이다. 또한, 좌변은 양수이므로, 우변도 양수여야 하니 k = -1, 즉, 이 우주는 열린 우주임을 알 수 있다.
정리하면, 등속 팽창 우주는 텅 빈 우주이고, 우주의 기하학적 모양은 곡률이 음수인 열린 우주이다.
3. k = 0이며, 우주의 밀도 = 우주의 물질 밀도인 우주
이 문단부터는 저번 글에서와 같이 척도인자를 현재 값이 1인 상대적 크기로, r을 m(미터)단위로 쓰겠다.
k = 0 일 때의 밀도를 임계밀도라고 하고, rho_c 로 쓰자. 그러면 프리드만 방정식을 정리하여 다음을 얻는다.
현재는 첨자로 0을 붙여서 표기하자. 현재 우주의 임계밀도는 다음으로 쓸 수 있다.
rho_c,0은 현재 우주의 임계밀도, H_0는 현재 허블 상수이다.
이제 밀도 변수를 다음으로 정의하자.
우리가 다룰 우주 모형은 k = 0이므로 Omega = 1인 우주이다.
이제부터 첨자 m을 붙인 것은 물질을 의미한다.
이제 이런 상황에 대해서 알아볼 것이다.
k = 0 이므로 프리드만 방정식은 다음으로 쓸 수 있다.
현재에 대해서는 위 식을
로 쓸 수 있다.
우주의 총 물질은 일정할 것이므로 물질 밀도는 척도인자의 세제곱에 반비례한다. 그러므로 물질 밀도는 다음으로 쓸 수 있다.
현재의 척도인자 a_0 = 1을 대입하였다. 이것으로 치환하면
이 된다. 이제 a로 정리하면
을 얻는다. 우주의 크기는 시간의 2/3 제곱에 비례한다. 또, 빅뱅 이후 현재 우주의 크기(a=1)에 도달할 때까지 걸리는 시간은
를 얻는다. 이것이 이 우주 모형에서의 우주의 나이가 된다.
4. 암흑 에너지(우주 상수)를 가정하며, k = 0 인 우주
이 경우는 풀이 과정이 길기 때문에 결과만 기술하겠다.
이 우주 모형의 경우 척도인자를 시간에 대해 미분하여 da/dt를 구해보면 그 값이 감소하다가 어느 순간부터 다시 증가하는 것을 볼 수 있다. 그래서 이 우주 모형을 가속 팽창하는 우주 모형이라고 한다. 또, 이 우주 모형의 경우 허블 상수는 항상 감소한다.
이 외의 우주 모형은 생략함.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
하…지구랑 영어 너흰 다음에 보자 션티 이신혁 쌤 저를 살려주세요
-
킬캠 2회 뭐죠 5
1회랑 맛이 너무 다르네요.. 1회는 넘어갔다 다시 오면 풀렸는데 14번 죽어도 안풀리네 허허..
-
떴으니까.
-
잇올러들아 아이패드 들고 가면 앱 유튜브랑 사이트 유튜브 다 차단됨? 엄마가...
-
물2특 3
머리가 기억 못 해도 손이 기억함 ㄹㅇ 신기함
-
배기범과 함께하는 기출 3회독으로 물1 1등급 쟁취한다
-
허슬테스트에 ebs 연계 반영 되어있나요? 안되어 있으면 그냥 작년에 사둔 거 풀게요
-
개같이 몰려서 서버 밀릴듯
-
해당 ㄷ선지를 풀 때 1. 가속 팽창 우주가 급팽창 이론을 바탕으로 나온 우주...
-
고통 중에서 2
복통 두통이 제일 극악인듯 정상적인 사고를 할 수가 없음
-
너무 어려운데 이거 유기하고 지구과학으로 돌려야되나 뭐라는지 모르겠음 그냥...
-
물2 질문 2
12번 ㄴ 선지를 어떻게 판단하는지 도무지 모르겠습니다. 처음 풀땐 3t/2 일땐...
-
미용실 너무 비싸
-
배고파 1
오늘 딱 1끼 먹음
-
박상원 쟨 진짜 와
-
이 멍첯한대가리 요즘 집중 30분하면 풀림
-
1사12루에 김도영이랑 변우혁은 너무 다른데
-
연대에서 반대하니까 ㅋㅋㅋㅋ
-
영원히 안 빼려나 고대국어 안 나오는 게 다행이긴 하지만
-
현역 6모 올3 1
수능 어디까지 올릴 수 있다고 보세요? 화작미적영어사문생윤입니다…...
-
종로 독서 교재 0
leet랑 기출 반반 섞은듯 어려운 인문 보다가 기출 보면 ㄹㅇ 개편함
-
아물론 ㅈ돼서기분더안좋음 근데이제공통존나잘해진거같아서기분이좋기도하고
-
독서 n제 쓰는 사람 추천 좀 해주세요
-
복통 때문에 공부가 손에 안잡힘... 진통제 먹어도 효과가 없네
-
안녕하세요 이번에 반수반 지원해서 붙었는데 대치는 장학0퍼이구 목동은 장학...
-
정말 공부 라이프 밸런스를 잘 챙겨야함 근데 정말로 한쪽에 치우치기 쉬워서 정말...
-
아 진짜 집 못들어가겠네 아
-
박희승 의원 '지역할당 60% 복무 10년' 공공의대 재추진[영상] 21
핵심요약공공의대 법안이 22대 국회에서 다시 추진된다. 국회 보건복지위 소속 민주당...
-
동급 여학생 얼굴 딥페이크 기술로 음란물 제작·판매한 고교생 5
(부산=연합뉴스) 박성제 기자 = 여학생들의 얼굴을 도용해 딥페이크 기술로 음란물을...
-
ㅇ에
-
음주가무 0
-
시험지 나눠준다고 조교님 등장하셨는데 옷에 기상t 노예라고 크게 박혀있는거 웃기닼ㅋㅋㅋ
-
무슨 흑인이 차에서 내려서 ㅈㄴ 밝은 표정으로 춤추는 영상인데 거기 나오는 노래...
-
채점하면서 질문 받아주기
-
캬 1컷 맞췄다 5
모두가 84를 외칠때 80을 외친 나!
-
압도적인 성적은 0
압도적인 경험에서 나온다는 걸 알게됨 공부는 누구나 하지만 멘탈은 누구나 단단하지...
-
후후
-
고장남 0
머리에 정보가 안들어 오는데 벌써 용량이 다 찬건가 아직 국어도 영어도 안했는데...
-
일단 신청했는데 ㅈㅂ 됐으면
-
용찬 우가 리섭 유튜버 아내 연예인 배슬기님 선 씨게 모욕해서 며칠전에 배슬기님이...
-
군수생 달린다 5
하지만 오늘은 못 달렸습니다... (눈물) 제가 하루 카페인을 안 먹어봤는데 퇴근...
-
언매영어탐탐 6모 높4 68 낮2 높3 수능때 안정2 낮3 1 1 가능할까요,,?...
-
일단 말을 상대방에게 해야하는가 남자입장에서 무조건적인 답은 "낙태를 하지 않는다"...
-
최저 공부 0
고2인데 최저 맞춰야하는데 영어 빼고 다 3등급입니다... 수능 공부 어떻게...
-
이정도면 거의 오세훈 서울시장님 아님? 자기 역점 교육사업 홍보 ㄷㄷㄷ
-
1, 덕코 2, 덕코 3, 덕코
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/rabong/018.png)
항상 우주는 재밌어용선생님 너무 어렵습니다;;