수특에서 배울거리를 정리해보자 미적 11일차
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아래는 오늘 문제인 수특 미적 58p Level3 3번입니다.
먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.
기본적으로 삼각함수는 대칭성이 중요합니다.
문제에서 나온 사인함수는 선대칭, 점대칭 성질 모두 있습니다.
f(x)는 주기 8인 사인함수죠.
0<t<2일 때 x=2에 대해 대칭임을 생각하면 t1=4-t이고 g(t)=4-2t 입니다.
2≤t<6일 때 x=6에 대해 대칭임을 생가갛면 t1=12-t이고 g(t)=12-2t입니다.
마찬가지로 6≤t<10에서 g(t)=20-2t, ...이 됩니다.
불연속인 지점은 x=2, 6, 10, 14, ... 이 되어 ak=4k-2가 되죠.
ㄱ. a1=2, g(a1)=8이므로 참이고
ㄴ. 불연속 지점에서 함숫값은 8이고 좌극한은 0이므로 참입니다.
ㄷ. {g(루트t)-g(루트 ak)} /{(루트t - 루트 ak)×(루트t + 루트 ak)} 의 극한값은
미분계수 정의를 생각하면 g'(루트 ak)/(2 루트 ak)가 됩니다.
그런데 g가 미분가능한 곳에서 기울기는 항상 -2이므로 g'(루트 ak)=-2이죠.
시그마 안에 있는 식이 ak=4k-2 가 되는 것이죠.
그래서 k=1부터 20까지 (4k-2)의 합을 구하면 200이 되어 참입니다.
사실 여기서 x=루트ak에서 미분가능한지 확인을 해줬어야합니다.
미분 불가능한 지점은 x=2, 6, 10, ...로 4로 나눈 나머지가 2인 지점들입니다.
그런데 ak=4k-2이므로 만약 x=루트ak에서 미분이 불가능하다면
루트(4k-2)=4p+2(4로 나눈 나머지가2)라 쓸 수 있죠.
그러면 4k-2=(4p+2)²=16p²+16p+4가 되어 왼쪽과 달리 오르쪽은 4로 나누어 떨어져 모순입니다.
따라서 x=루트ak 에서 항상 미분이 가능함을 알 수 있습니다.
아래는 관련 기출인 2022년 교육청 4월 30번(미적)입니다.
봐주셔서 감사하고요
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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]
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11일차 클리어!
풀다가 정신 나갈뻔 했는데 굉장히 깔끔하게 푸시는군요..
삼각함수 대칭성 -> 중간이 평균이니까, 합이 일정함을 이용해서 슥슥 좌표 쓰기
예) 중간이 2라면, x좌표는 t와 4-t
미분계수 형태 -> 분자와 분모의 형태를 맞추고, 미분가능할 경우 프라임으로 미분계수로 쓰기. 굳이 치환 필요 x.
변수 t로 새롭게 정의된 함수 -> 대강 예측이 아니라, 그래프를 그릴줄 알아야함.
정리가 훌륭햐십니다 삼각함수는 대칭성!